Tetraedr - je to geometrické těleso složené ze čtyř trojúhelníků a šesti žeber. Jeho objem lze vypočítat pomocí speciálního vzorce, ve kterém jsou přítomny délky jeho žeber. Ale co se stane s objemem tetraedru, když jeho žebra zdvojnásobíte?
Chcete-li na tuto otázku odpovědět, musíte si vzpomenout, jak se vypočítává objem tetraedru. Vzorec objemu tetraedru je definován jako jedna šestina jeho základny vynásobená výškou tetraedru. Vliv délky žeber na objem tetraedru tedy spočívá ve změně oblasti základny a výšky.
Představme si, že každé žebro tetraedru je dvakrát zvětšeno. Zvažte dvě situace: když máme správný tetraedr a náhodný tetraedr.
V případě správného čtyřstěnu jsou všechna jeho žebra stejná a všechny jeho plochy rovnostranné trojúhelníky. Zvětšení délky každého žebra na 2 krát způsobí, že každý trojúhelník zvýší délku strany na 2 krát. Plocha každého trojúhelníku závisí na délce jeho strany, takže plocha každé plochy se také zvýší 4krát. Plocha základny tetraedru se tak zčtyřnásobí.
Zvýšení objemu tetraedru
Podívejme se na první případ: všechna žebra se zvětšují stejným způsobem. Nechť stará délka žebra je a, pak nová délka bude 2A. vzorec pro objem čtyřstěnu má tvar:
kde v je objem, a je délka žebra. Vložením nové délky žebra do vzorce získáme:
V_new = ((2a)^3 * sqrt(2))/12 = 8a^3 * sqrt(2)/12 = (2^2 * a^3 * sqrt(2))/12 = 2^2 * V = 4V.
Takže když se všechna žebra tetraedru zvětší na 2 krát, jeho objem se zvýší na 4 krát.
Podívejme se na druhý případ: každé žebro se zvyšuje nezávisle na ostatních. Nechte každé žebro dvakrát zvětšit. Vzorec pro objem tetraedru bude stejný:
Vložením nové délky žebra (2a) do vzorce získáme:
V_new = ((2a)^3 * sqrt(2))/12 = 8a^3 * sqrt(2)/12 = (2^2 * a^3 * sqrt(2))/12 = 2^2 * V = 4V.
V tomto případě se také ukazuje, že při zvětšení každého žebra tetraedru na 2 krát se jeho objem zvyšuje 4krát.
Zvýšení objemu tetraedru zvýšením žeber na dvojnásobek
Předpokládejme, že máme čtyřstěn se žebrem a. abychom zvýšili jeho objem, můžeme délku každého ze čtyř žeber zdvojnásobit.
Pokud zvětšíme délku žebra a na 2a, vzorec pro výpočet objemu tetraedru bude vypadat:
V = (a 3 √2) / 12
Zvětšení délky každého žebra na dvojnásobek povede k 8násobnému zvýšení objemu tetraedru. Je to proto, že objem tetraedru je úměrný kostce délky jeho žebra.
Zvětšením žeber na dvojnásobek tedy můžeme výrazně zvýšit objem tetraedru, což může být užitečné při řešení různých geometrických úkolů a aplikací.
Matematické zdůvodnění zvýšení objemu tetraedru
Výpočet objemu tetraedru se provádí podle vzorce:
kde V-Objem tetraedru, S - plocha základny, h-výška.
Předpokládejme, že žebra tetraedru se zdvojnásobí.
Označíme nové žebro jako a', což odpovídá dvojnásobné hodnotě původního žebra a: a' = 2a.
Plochu základny tetraedru s' lze vypočítat s vědomím, že plocha je úměrná čtverci délky strany:
S' = (a')^2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4 * S.
Výška tetraedru je také úměrná dvojnásobné délce původního žebra:
Vložíme výsledné hodnoty do vzorce pro výpočet objemu:
V' = (1/6) * S' * h' = (1/6) * 4S * 2h = (4/6) * 2 * S * h = 4/3 * V.
Zvětšení žeber tetraedru tedy 2krát vede ke zvýšení jeho objemu 4/3 krát.