Střed vepsaného kruhu v pravoúhlém trojúhelníku je průsečíkem tří kolmých bodů: jednoho ze středu přepony a vrcholů pravého úhlu, stejně jako středu opačné strany a vrcholu pravého úhlu. Velikost poloměru vepsaného kružnice se vypočítá podle vzorce r=(a+b-c)/2, Kde A A b jsou délky trojúhelníkových katetů a c je délka přepony.
Existuje několik metod, jak vytvořit střed vepsaného kružnice v pravoúhlém trojúhelníku. Jeden z nich je založen na použití obvodu Euler. K tomu je třeba:
- Nakreslete přímku spojující střed katetů. Bude rovnoběžná s přeponou a rovná se polovině její délky.
- Nakreslete přímku spojující jeden ze zbývajících rohů pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem. Bude kolmá k přeponě.
- Tam, kde se tyto přímky protínají, je střed vepsaného kružnice.
Další metoda je založena na použití těžiště pravoúhlého trojúhelníku. K tomu je třeba:
- Rozdělte každý z katetů na tři stejné části.
- Z vrcholů katetů vedou kolmice k přímce spojující střed katetů. Průsečíky těchto kolmic a přímky budou další vrcholy mnohoúhelníku vepsaného do pravoúhlého trojúhelníku.
- Střed vepsaného kružnice tak bude v průsečíku tří po sobě jdoucích bissectris.
Výběr metody závisí na vašich preferencích a dostupnosti potřebných nástrojů. V obou případech však bude výsledek stejný-v pravoúhlém trojúhelníku získáte střed zapsaného kružnice.
Budování středu vepsaného kruhu
- Najděte střed stran trojúhelníku.
- Nakreslete trojúhelníkové bissektriky procházející nalezenými středy.
- Křížový bod bissectris je středem vepsaného kružnice.
Když je střed zapsaného kružnice nalezen, jeho poloměr lze vypočítat následovně:
- Najděte délky stran trojúhelníku.
- Pomocí vzorce pro výpočet plochy trojúhelníku a semiperimetru najděte poloměr podle vzorce r = (plocha trojúhelníku) / (semiperimetr).
Střed vepsaného kružnice je důležitým pojmem v geometrii. Používá se v různých úkolech a konstrukcích a může být také užitečný při řešení různých problémů a problémů pomocí pravoúhlých trojúhelníků.
Definice pojmu
Vložený obvod - je to obvod, který se dotýká všech stran trojúhelníku.
Středový obvod - je to průsečík čar vedených ze středu stran trojúhelníku, které se dotýkají vepsaného kružnice. Střed vepsaného kružnice je na průsečíku výšek, bissectris a medián trojúhelníku.
Konstrukce středového obvodu
Střed vepsaného kružnice v pravoúhlém trojúhelníku lze snadno najít pomocí následujícího návrhu:
Krok 1: Vytvořte základní tvar-obdélníkový trojúhelník.
Krok 2: Najděte střed každé ze stran trojúhelníku a označte je.
Krok 3: Spojte středy protilehlých stran trojúhelníku, výsledné délky se protnou v bodě. Tento bod bude středem kružnice.
Tato konstrukce je založena na skutečnosti, že v pravoúhlém trojúhelníku středu protilehlých stran je jejich průsečík a průsečík výšky vzájemně kolmý.
Střed vepsaného kružnice v pravoúhlém trojúhelníku je důležitou charakteristikou, protože je průsečíkem bissectris trojúhelníku a má mnoho zajímavých vlastností.
Vlastnosti středu vepsaného kruhu
Vlastnost 1: Střed zapadlého kruhu leží na křižovatce bissectris.
Vzhledem k tomu, že bissektrici rozdělují úhly trojúhelníku na polovinu, je snadné prokázat, že průsečík bissectris je také bodem, který se rovná všem stranám trojúhelníku.
Vlastnost 2: Střed vepsaného kružnice rozděluje bissektriky na délky úměrné příslušným stranám trojúhelníku.
Každá bissectris rozděluje opačnou stranu trojúhelníku na délky, které jsou úměrné ostatním dvěma stranám trojúhelníku. Střed vepsaného kružnice tedy rozděluje bissektriky také v tomto ohledu.
Vlastnost 3: Vzdálenost od středu vepsaného kružnice ke každé straně trojúhelníku se rovná poloměru kružnice.
Vzhledem k tomu, že střed vepsaného kružnice je roven všem stranám trojúhelníku, vzdálenost od něj ke každé straně se rovná poloměru kružnice.
Studium vlastností středu vepsaného kružnice v pravoúhlém trojúhelníku umožňuje pochopit geometrickou povahu tohoto zvláštního bodu a použít jej při řešení různých problémů.
Použití středového obvodu
Má mnoho aplikací v geometrii, stavebnictví a fyzice. Zde jsou některé z nich:
1. Určení výšky trojúhelníku:
Střed vepsaného kružnice je průsečíkem výšek trojúhelníku-čar, které vedou přes vrcholy až doprostřed příslušných stran.
2. Definice trojúhelníkového bissektrismu:
Střed vepsaného kružnice je průsečíkem bissectris trojúhelníku-čar, které rozdělují úhly trojúhelníku na dvě stejné části.
3. Definice ortocentra trojúhelníku:
Průsečík výšek trojúhelníku je také zarovnán s ortocentrem-průsečíkem tří výšek trojúhelníku.
4. Výpočet plochy trojúhelníku:
Při znalosti poloměru vepsaného kružnice a délky stran trojúhelníku lze vypočítat jeho plochu pomocí známého vzorce S = r * p, kde R je poloměr vepsaného kružnice a p je semiperimetr trojúhelníku.
Obecně platí, že střed vepsaného kružnice hraje klíčovou roli v mnoha geometrických a fyzikálních úkolech a jeho znalost umožňuje snadno řešit složité problémy spojené s pravoúhlým trojúhelníkem.