Lichoběžník je geometrický obrazec, který má dvě rovnoběžné strany zvané báze a dvě neparalelní strany nazývané boční strany. Najít délku základny lichoběžníku nemusí být tak snadné, zvláště pokud jsou známy pouze boky a výška.
Existuje několik metod pro výpočet délky základny lichoběžníku. Jeden z nich je založen na použití Pythagorovy věty. Pokud jsou známy délky bočních stran a výška, můžete použít následující vzorec:
a = √(c^2 - b^2)
Kde a je délka základny, c je délka jedné z bočních stran a b je délka druhé strany. Použitím Pythagorovy věty lze najít základnu lichoběžníku.
Další metoda výpočtu základny lichoběžníku je založena na vzorci plochy. Pokud je známa plocha lichoběžníku, boky a výška, můžete použít následující vzorec:
a = (2S - bh) / (b + h)
Kde a je délka základny, s -- lichoběžníková Plocha, b -- délka jedné z bočních stran, h -- výška lichoběžníku. Pomocí tohoto vzorce lze najít délku základny, i když jsou známy pouze boky a výška.
Jak najít základnu lichoběžníku po stranách a výšce
Pro začátek musíme znát hodnoty bočních stran a výšky. Označíme je jako a, b A h.
Pokud jsou známy boky a A b a výška h, pak lze základnu lichoběžníku nalézt pomocí následujícího vzorce:
Lichoběžníková základna = (a + b) * h / 2
Tento vzorec je založen na skutečnosti, že výška lichoběžníku ji rozdělí na dva trojúhelníky, respektive na boční strany a A b. Plocha těchto dvou trojúhelníků by se rovnala polovině součinu základny ve výšce každého trojúhelníku.
Pro lepší pochopení si uveďme příklad. Předpokládejme, že máme lichoběžník, který má boky a = 6, b = 10 a výška h = 4. Použitím vzorce můžeme najít základ:
| Boční strana a | Boční strana b | Výška h | Základna lichoběžníku |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | (6 + 10) * 4 / 2 = 64 |
Základ našeho lichoběžníku je tedy 64.
Pomocí tohoto vzorce můžete snadno najít základnu lichoběžníku podle daných hodnot bočních stran a výšky. To je velmi užitečné pro řešení geometrie a stavebních problémů.
Metody výpočtu základny lichoběžníku:
1. Známé jsou délky bočních stran a výška lichoběžníku:
- Pomocí vzorce pro lichoběžníkovou plochu lze vyjádřit jeden ze základů dané postavy.
- Chcete-li to provést, musíte nejprve najít oblast trojúhelníku tvořenou jednou ze základen, výškou a jednou z bočních stran.
- Poté odečtením dané plochy od plochy celého lichoběžníku lze najít plochu jiného trojúhelníku tvořeného druhou základnou, výškou a stejnou boční stranou.
- Tímto způsobem získáme dva vzorce pro nalezení každé z bází.
2. Známé jsou délky bočních stran a úhlopříčka lichoběžníku:
- V takovém případě můžete použít kosinusovu větu k nalezení jednoho ze základů.
- Neznámá základna je vyjádřena prostřednictvím známých stran a úhlopříčky.
3. Jsou známy délky bočních stran a poloměr popsaného kružnice:
- V tomto případě můžete použít Pythagorovu větu k nalezení jednoho ze základů.
- Neznámá základna je vyjádřena známými stranami a poloměrem popsaného kružnice.
V závislosti na poskytnutých informacích lze použít vhodnou metodu výpočtu základny lichoběžníku.
Metoda 1: výpočet podle vzorce
Jedna z metod výpočtu základny lichoběžníku na známých bočních stranách a výšce je založena na použití vzorce pro lichoběžníkovou plochu.
Oblast lichoběžníku lze nalézt vynásobením půl hummu bází výškou:
- a-délka jedné základny
- b-Délka jiného základu
- h - výška lichoběžníku
- S-trapézové náměstí
Pomocí tohoto vzorce lze najít jeden ze základů, protože znáte délku jiné základny a výšku lichoběžníku. V tomto případě lze vzorec přepsat vyjádřením jednoho z důvodů:
Řekněme, že máme lichoběžník s délkou jedné základny 8, délkou druhé základny 12 a výškou 6. Abychom našli délku druhé základny, můžeme použít vzorec:
b = (2 * S) / (a + h) = (2 * 72) / (8 + 6) = 144 / 14 = 10.286
Délka druhé základny je tedy přibližně 10.286.
Pomocí této metody výpočtu lze rychle určit délku základny lichoběžníku s vědomím délky bočních stran a výšky.
Metoda 2: geometrická metoda
Geometrická metoda je založena na použití vlastností lichoběžníku a lze ji použít k určení základny lichoběžníku na známých bočních stranách a výšce.
Pro použití geometrické metody je nutné vědět, že diagonály lichoběžníku ji dělí na 4 trojúhelníky: dva obdélníkové a dva rovnoramenné. Pomocí vlastností těchto trojúhelníků lze získat rovnice, které umožní vypočítat základnu lichoběžníku.
Kroky k výpočtu základny lichoběžníku pomocí geometrické metody:
- Určete výšku lichoběžníku a označte jej jako h.
- Rozdělte výšku na polovinu a výslednou hodnotu označte jako h1.
- Vypočítejte délku boční strany lichoběžníku a označte jej jako a.
- Pomocí Pythagorovy věty najděte délku základny menšího obdélníkového trojúhelníku, který je tvořen diagonálou lichoběžníku a částí jedné ze základen. Označte délku výsledného úseku jako b.
- Vypočítejte délku základny t rovnoramenného trojúhelníku sousedícího s menším pravoúhlým trojúhelníkem. Chcete - li to provést, pomocí vlastností rovnoramenného trojúhelníku vyhledejte hodnotu t podle vzorce: t = 2 * (a-b).
- Základna hledaného lichoběžníku je součtem základny t a matematického očekávání bází pravoúhlých trojúhelníků: základny menšího pravoúhlého trojúhelníku b a základny většího pravoúhlého trojúhelníku a. to znamená, že základna lichoběžníku je T + (A + b) / 2.
Geometrická metoda tedy umožňuje vypočítat základnu lichoběžníku podle známých bočních stran a výšky pomocí vlastností pravoúhlých a rovnoramenných trojúhelníků a Pythagorovy věty.
Metoda 3: Použití Pythagorovy věty
Nechť A A b jsou délky bočních stran lichoběžníku a h je jeho výška. Podle Pythagorovy věty se součet čtverců katetrů pravoúhlého trojúhelníku rovná čtverci přepony.
V případě lichoběžníku lze strany a A h považovat za katety a strany b a základnu lichoběžníku za přeponu. Použitím Pythagorovy věty lze tedy najít hodnotu základny lichoběžníku.
Vzorec pro výpočet základny lichoběžníku na bočních stranách a výšce je následující:
b = √(c^2 - a^2),
kde b je základna lichoběžníku, C je přepona pravoúhlého trojúhelníku, a je jedním z katetů (v tomto případě lichoběžníková strana), která je uvedena v podmínce úkolu.
Pomocí tohoto vzorce lze získat hodnotu základny lichoběžníku tím, že znáte hodnoty délek bočních stran a výšky.
Metoda 4: Aplikace trigonometrie
K tomu budeme potřebovat délku jedné z bočních stran lichoběžníku (počítáme ji a), délku druhé strany (počítáme ji b) a výšku lichoběžníku (počítáme ji h).
Nejprve najdeme délku diagonály lichoběžníku (počítáme ji d) pomocí Pythagorovy věty:
d = √(a 2 - h 2 ) + √(b 2 - h 2 )
Poté najdeme rozdíl délek bočních stran (počítáme jej c) podle vzorce:
c = |a - b|
Nakonec nalezené délky úhlopříčky a rozdíly stran nám umožňují vypočítat délku základny lichoběžníku (počítáme ji s) podle následujícího vzorce:
s = √(d 2 - 4h 2 ) - c
Aplikace trigonometrie nám tedy umožňuje přesně vypočítat délku základny lichoběžníku na známých bočních stranách a výšce.
Metoda 5: Použití systému rovnic
Jednou z metod výpočtu základny lichoběžníku na známých bočních stranách a výšce je použití systému rovnic.
Nechť A A b jsou délky bočních stran lichoběžníku a h je jeho výška. Víme, že základy lichoběžníku lze představit jako následující systém rovnic:
a = x + yb = x - yh = sqrt(x^2 - h^2/4) + sqrt(y^2 - h^2/4)
Pro získání lichoběžníkových bází je nutné vyřešit tento systém rovnic:
1) z prvních dvou rovnic systému vyloučíme proměnnou y:
a + b = (x + y) + (x - y) = 2xa - b = (x + y) - (x - y) = 2y
2) obě rovnice postavíme na čtverec a sečteme:
(a + b)^2 + (a - b)^2 = 4x^2 + 4y^2a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 4x^2 + 4y^22a^2 + 2b^2 = 4x^2 + 4y^2
3) vložíme hodnotu h ze třetí rovnice systému do výsledné rovnice:
2a^2 + 2b^2 = 4x^2 + 4y^22a^2 + 2b^2 = 4(x^2 - h^2/4) + 4(y^2 - h^2/4)2a^2 + 2b^2 = 4x^2 - h^2 + 4y^2 - h^22(a^2 + b^2) = 4x^2 + 4y^2 - 2h^2
4) z druhé rovnice systému vyjádříme y přes a A b:
a - b = 2yy = (a - b)/2
5) vložíme výslednou hodnotu y do původní rovnice pro základnu:
x - y = x - (a - b)/2
6) vložíme výsledné hodnoty do systému rovnic a provedeme řešení výsledného systému rovnic. Výsledné hodnoty x a y budou základem lichoběžníku.
Metoda 6: Použití vektorové algebry
K nalezení základny lichoběžníku na bočních stranách a výšce lze použít metodu založenou na vektorové algebře.
Představme si lichoběžníkové strany jako vektory a a b výška-vektor h. Vektor a určuje souřadnice (x1, y1) a vektor b souřadnice (x2, y2). Vektor h udává souřadnice (0, h).
Základ lichoběžníku lze nalézt podle vzorce:
Základy = |a - b|
kde |. / - modul vektoru. Modul vektoru lze nalézt následovně:
|a - b| = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)
- Strany lichoběžníku a = (4, 2) a b = (8, 2) a také výška h = 5.
- Převedeme strany a výšku na vektory: a = (4, 2), b = (8, 2), h = (0, 5).
- Vypočítáme modul rozdílu vektorů a a b: |a - b| = √((4 - 8)^2 + (2 - 2)^2) = √((-4)^2 + 0^2) = √(16 + 0) = √16 = 4.
- Základna lichoběžníku je tedy 4.
Použití vektorové algebry usnadňuje proces hledání základny lichoběžníku na bočních stranách a výšce. Tato metoda je zvláště užitečná při práci s prostorovými konstrukcemi, kde vzorce založené na geometrii mohou být nepohodlné nebo nepoužitelné.