Pokud jde o trojúhelníky, jedním ze základních prvků, které je třeba najít, je třetí strana. Najít třetí stranu trojúhelníku lze různými způsoby, v závislosti na dostupných datech. V tomto článku se podíváme na jeden z těchto případů: když jsou známy dvě strany trojúhelníku a úhel mezi nimi.
Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC, ve kterém jsou známé strany AB A AC a úhel mezi nimi CAB 30 stupňů. Naším úkolem je najít třetí stranu trojúhelníku BC.
K vyřešení tohoto problému můžeme použít zákon kosinus. Podle tohoto zákona je čtverec třetí strany trojúhelníku součtem čtverců dalších dvou stran vynásobený kosinem úhlu mezi nimi. To je:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(CAB)
Tím, že z našeho úkolu vytvoříme hodnoty, získáme:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(30)
Pak už zbývá jen vzít druhou odmocninu z výsledné hodnoty a dostaneme třetí stranu trojúhelníku BC.
Jak najdu třetí stranu trojúhelníku?
Chcete-li najít třetí stranu trojúhelníku, musíte znát délky obou stran a úhel mezi nimi. K tomu lze použít kosinusovu větu.
Ať máme trojúhelník ABC, kde jsou známé strany AB a BC a úhel BAC je 30 stupňů. Označme stranu AC jako x. podle kosinové věty:
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 * AB * BC * cos(BAC)
Uveďte známé významy do vzorce:
x 2 = AB 2 + BC 2 - 2 * AB * BC * cos(30)
Když známe hodnoty stran AB a BC, jednoduše vypočítáme jejich čtverce a vložíme je do vzorce. Poté vypočítáme hodnotu výrazu a extrahujeme kořen:
x = √(AB 2 + BC 2 - 2 * AB * BC * cos(30))
Tímto způsobem můžeme získat hodnotu třetí strany trojúhelníku při známých délkách obou stran a úhlu mezi nimi. To nám umožní plně definovat geometrický tvar trojúhelníku.
Vzorec kosinů pro nalezení strany trojúhelníku
K nalezení třetí strany trojúhelníku na dvou známých stranách a rohu mezi nimi použijeme vzorec kosinů. Vzorec kosinů zní:
- Pro stranu a: a2 = b2 + c2 - 2BC * cos(a), kde b A c jsou známé strany trojúhelníku, a je úhel mezi stranami b A C.
- Pro stranu b: b2 = A2 + c2 - 2AC * cos(B), kde a A c jsou známé strany trojúhelníku, B je úhel mezi stranami a A C.
- Pro stranu c: c2 = a2 + b2 - 2AB * cos(C), kde a A b jsou známé strany trojúhelníku, C je úhel mezi stranami a A b.
Tyto vzorce umožňují najít třetí stranu trojúhelníku, pokud jsou známy dvě strany a úhel mezi nimi. Pro nalezení strany trojúhelníku za daných podmínek nastražíme známé hodnoty do příslušného vzorce a vypočítáme třetí stranu.
Příklad výpočtu třetí strany trojúhelníku
Když jsou známy dvě strany trojúhelníku a úhel mezi nimi, lze k výpočtu třetí strany použít kosinus větu.
Kosinová věta zní:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
kde c je třetí strana trojúhelníku, a A b jsou známé strany, C je úhel mezi nimi.
Podívejme se na příklad. Ať máme trojúhelník ABC, kde strany AB = 5 a BC = 7 a úhel ACB je 30 stupňů.
Pomocí kosinové věty můžeme vypočítat třetí stranu trojúhelníku:
c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(30°)
c^2 = 25 + 49 - 70 * cos(30°)
c^2 = 74 - 70 * cos(30°)
c^2 = 74 - 70 * (√3 / 2)
c^2 = 74 - 70 * (√3 / 2) * 1/1
Nyní můžeme vypočítat třetí stranu tím, že vezmeme druhou odmocninu z obou stran:
Přípustné úhly a strany trojúhelníku
V trojúhelníku k dispozici jsou tři strany a tři rohy. Aby byl trojúhelník správný, musí být splněny určité podmínky týkající se délek stran a velikostí úhlů.
Součet úhlů trojúhelníku vždy rovných 180 stupňů. Tato vlastnost je známá jako součet úhlů trojúhelníku a umožňuje nám počítat chybějící rohy.
Ostrý trojúhelník - trojúhelník, který má všechny úhly menší než 90 stupňů.
Tupý trojúhelník - trojúhelník, který má jeden z úhlů větší než 90 stupňů.
Pravoúhlý trojúhelník - trojúhelník, který má jeden z úhlů 90 stupňů.
V trojúhelníku nejsou možné úhly větší než 180 stupňů. Pokud je některý z úhlů větší než 180 stupňů, tvar nebude trojúhelníkem, ale spíše průsečíkem úseků.
Nyní, když znáte tyto základní vlastnosti, můžete analyzovat trojúhelník s danými stranami a úhly a určit, zda je takový trojúhelník přípustný nebo ne.
Použití Pythagorovy věty k nalezení třetí strany
Chcete-li použít Pythagorovu větu, je třeba nastavit vztah mezi dvěma známými stranami trojúhelníku a úhlem mezi nimi. Podívejme se na trojúhelník ABC, kde AB A AC jsou známé strany a úhel BAC je známý úhel.
A/ \/ \AB AC
Použijeme větu na trojúhelník ABC:
kde AB A AC jsou známé strany a BC je třetí strana, kterou chceme najít.
Poté můžeme použít Pythagorovu větu k nalezení hodnoty BC. Čtverec třetí strany se rovná součtu čtverců dvou známých stran.
Řekněme AB = 3 A AC = 4. Tyto hodnoty můžeme vložit do vzorce:
Třetí strana trojúhelníku ABC je tedy rovna 5 jednotkám.
Použití Pythagorovy věty nám umožňuje najít třetí stranu trojúhelníku pouze pomocí dvou známých stran a úhlu mezi nimi. Tato metoda je založena na základní matematické větě a lze ji použít k řešení různých geometrických problémů.