Rovnoběžníky a kosočtverce jsou speciální typy čtyřúhelníků, které mají mnoho společných vlastností. Abychom dokázali, že paralelogramy ABCD jsou kosočtverce, musíme se podívat na jejich základní vlastnosti a použít příslušné definice a vlastnosti.
Paralelogram abcd má dva páry rovnoběžných stran. Je také známo, že v kosočtverci jsou si všechny strany rovny. To znamená, že abychom dokázali, že abcd je kosočtverec, musíme ukázat, že všechny strany tohoto rovnoběžníku jsou si navzájem rovny.
Pro začátek prokážeme, že protilehlé strany rovnoběžníku abcd jsou stejné. Podle vlastnosti rovnoběžníku jsou opačné strany rovnoběžné a rovnoběžné. Takže strana ab se rovná straně dc a strana ad se rovná straně bc.
Dále, abychom dokázali, že všechny strany rovnoběžníku abcd jsou stejné, obraťme se na jeho úhlopříčky. V rovnoběžníku jsou úhlopříčky rozděleny na polovinu a protínají se v bodě, který rozděluje úhlopříčky na 1:1. Pokud dokážeme, že úhlopříčky ab a cd jsou stejné, můžeme konstatovat, že jejich poloviny (tj. délky ad a bc) jsou také stejné.
Dáno abcd-paralelogram
- Strany ab a cd by měly být kolmé a měly by mít stejnou délku.
- Strany bc a ad musí být rovnoběžné a mít stejnou délku.
Rovnoběžník abcd má vlastnost rovnoběžnosti protilehlých stran, to znamená, že strana ab je rovnoběžná s stranou cd, zatímco strana bc je rovnoběžná s stranou ad.
Také, rovnoběžník abcd má vlastnost rovnosti protilehlých stran, to znamená, že strana ab se rovná straně cd a strana bc se rovná straně ad.
Na základě těchto vlastností a definic kosočtverce lze konstatovat, že postava abcd je kosočtverec.
| a | b | c | d | |
|---|---|---|---|---|
| Strana | ab | bc | cd | ad |
| Rovná | cd | ad | ab | bc |
| Paralelní | cd | ab | ad | bc |
| Kolmý | ab | cd | ab | cd |
Vlastnosti paralelogramu
Paralelogram má několik vlastností, které se provádějí pro všechny jeho druhy:
- Opačné strany jsou rovnoběžné: V paralelogramu jsou strany AB a CD rovnoběžné a strany AD a BC jsou rovnoběžné.
- Opačné strany jsou si rovny: V rovnoběžníku se strana AB rovná straně CD a strana AD rovná straně BC.
- Opačné úhly jsou stejné: Rovnoběžník má dva páry stejných úhlů, kde jsou protilehlé úhly stejné. To znamená, že úhel A se rovná úhlu C a úhel B se rovná úhlu D.
- Úhlopříčky se dělí na polovinu: Úhlopříčky rovnoběžníku ABCD, které spojují protilehlé vrcholy, jsou rozděleny napůl. To znamená, že průsečík úhlopříček rozděluje každou úhlopříčku na dvě stejné části.
Z těchto vlastností vyplývá, že rovnoběžník je také kosočtverec, za předpokladu, že jeho strany jsou stejné. To znamená, že pokud je AB = BC = CD = DA, pak je tento paralelogram kosočtvercem.
Úhly rovnoběžníku
Rovnoběžníky abcd mají dva páry rovnoběžných stran ab a cd a také dva páry stejných úhlů. Úhlopříčky rovnoběžníku ac a bd se protínají ve středu popsaného kružnice. V rovnoběžníku abcd se každý úhel rovná jeho sousednímu úhlu tvořenému úhlopříčkou a stranou rovnoběžníku.
Pokud tedy prokážete, že všechny úhly rovnoběžníku abcd jsou si rovny, pak budou rovny 90°. A to by znamenalo, že paralelogram abcd je kosočtverec.
Úhlopříčky rovnoběžníku
Vlastnosti úhlopříček rovnoběžníku:
- Úhlopříčky rovnoběžníku jej dělí na dva stejné trojúhelníky. Plocha těchto dvou trojúhelníků bude tedy stejná.
- Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají v bodě, který je středem každé z nich. To znamená, že průsečík úhlopříček ac a bd rozděluje každou z nich na polovinu.
- Úhlopříčky rovnoběžníku jej dělí na čtyři stejné trojúhelníky. To znamená, že plocha každého z těchto trojúhelníků bude stejná.
- Úhlopříčky rovnoběžníku jsou v délce rovnoběžné. Ac = bd.
Na základě vlastností úhlopříček rovnoběžníku můžeme dospět k závěru, že rovnoběžník abcd je kosočtverec. Kosočtverec je čtyřúhelník, který má všechny strany stejné.
Je třeba prokázat, že ABCD je kosočtverec
Abcd je paralelogram. To znamená, že protilehlé strany ab a cd jsou rovnoběžné a strany ad a bc jsou také rovnoběžné. Z toho vyplývá, že úhly mezi stranami ad a ab a mezi stranami bc a cd jsou 180 stupňů. Také z daný stav rovnoběžníku vyplývá, že strany ab a cd jsou si rovny, stejně jako strany ad a bc jsou si rovny.
Takže máme stejné strany ab=cd a ad=bc, což znamená, že abcd je postava s rovnoběžnými stranami a stejnými úhlopříčkami. To odpovídá definici kosočtverce. Abcd je tedy kosočtverec.
Definice kosočtverce
Kosočtverec má také další důležitou vlastnost-všechny jeho úhly jsou stejné. Rohy kosočtverce mohou být rovné i tupé.
Kosočtverec má také několik vlastností, které vyplývají z jeho definice. Například, protože všechny strany kosočtverce jsou stejné, jeho úhlopříčky (segmenty spojující protilehlé vrcholy) jsou také stejné. Diagonály kosočtverce jsou jeho osou symetrie-každá úhlopříčka rozděluje kosočtverec na dvě stejné plochy a tvaru postavy.
Za zmínku také stojí, že kosočtverec nemusí být nutně obdélník. Ačkoli rohy kosočtverce mohou být rovné a jeho strany jsou stejné, může být jejich vrstevníkem.
Vzhledem k těmto vlastnostem lze konstatovat, že paralelogram abcd popsaný na začátku je kosočtverec, protože má stejné strany a opačné strany jsou rovnoběžné.
Podmínka kosočtverce pro paralelogram abcd
Podmínka: Všechny strany rovnoběžníku abcd jsou si rovny.
Tuto podmínku lze přepsat následovně:
Pokud jsou tedy všechny strany rovnoběžníku abcd mezi sebou stejné, pak je tato postava kosočtvercem.
Důkaz rovnosti úhlopříček
Zvažte úhlopříčky ab a cd rovnoběžníku abcd.
Krok 1: Prokážeme, že ab