Grafy funkcí mají obrovský praktický význam v různých oblastech vědy a techniky. Pochopení procesu vytváření grafů funkcí je jedním z důležitých aspektů matematické analýzy. V tomto článku se seznámíme s metodou sestavení grafu funkce y = √x a také se naučíme, jak najít počet bodů na tomto grafu.
Funkce y = √X je jednou ze základních funkcí v matematice. Je druhou odmocninou proměnné x. Proces vytváření grafu této funkce začíná výběrem některých hodnot proměnné x a nalezením příslušných hodnot funkce y. tyto body jsou poté označeny v souřadnicové rovině a spojeny do hladké křivky čáry.
Chcete-li najít počet bodů na grafu funkce y = √X, musíte určit, kolik řešení má rovnice √x = y. odmocnina druhá je funkce, která přijímá nezáporné hodnoty. Pro každou hodnotu y, která se rovná nule nebo kladnému číslu, tedy existuje jedna a pouze jedna hodnota x, která je řešením rovnice. Výsledkem je, že počet bodů na grafu funkce y = √X se rovná počtu nezáporných hodnot y.
Krok 1. Pochopit podstatu funkce kořen z X
Pokud je nastavena hodnota x, funkce kořen z X Vrátí číslo, jehož vztažením na druhou je X.například kořen z 9 je 3, protože 3 na druhou je 9.
Graf funkce kořen z X je křivka čáry, která začíná v bodě (0, 0) a postupně se zvyšuje. Čím větší je hodnota x, tím větší bude hodnota kořene z x.
Je důležité si uvědomit, že funkce kořen z x je definován pouze pro nezáporná čísla, protože záporná čísla nemají čtvercové kořeny v obvyklém smyslu. Proto graf funkce kořen z X je pouze v kladné části souřadnicové roviny.
Krok 2. Definujte oblast definice funkce
Funkce √X je určena pouze pro nezáporné hodnoty argumentu, protože kořen záporného čísla je komplexní číslo a v tomto kontextu nedává smysl. Oblast definice funkce √X se proto skládá ze všech nezáporných čísel.
Označíme definici funkce √X jako D(√x) a zapíšeme ji jako:
Tedy množina všech nezáporných čísel.
Krok 3. Vyberte body pro sestavení grafu
Pro výběr bodů se doporučuje rovnoměrné rozložení hodnot x v daném intervalu. Pokud je interval roven [0, 10], lze vybrat několik bodů se stejným krokem, jako je 0, 2, 4, 6, 8 a 10.
Dalším způsobem výběru bodů je použití náhodného rozložení hodnot x. V tomto případě je možné nastavit počet bodů a předat funkci, která bude generovat náhodné hodnoty v daném intervalu.
Po výběru bodů lze vypočítat hodnoty funkce y = kořen z x pro každý bod. K tomu stačí vzít druhou odmocninu z příslušné hodnoty x a zapsat výsledek jako hodnotu y.
Výsledné páry hodnot x, y používá se k sestavení grafu funkce na obrázku nebo v tabulce. Doporučuje se použít tabulku, aby byly body jasně prezentovány a bylo možné spočítat jejich počet.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 2 | 1.414 |
| 4 | 2 |
| 6 | 2.449 |
| 8 | 2.828 |
| 10 | 3.162 |
Konstrukce funkce grafu
Chcete-li vytvořit graf funkce, musíte nastavit rozsah hodnot argumentu, vypočítat příslušné hodnoty funkce a zobrazit je na souřadnicové rovině. V případě funkce y = √x můžeme sestavit harmonogram, vezmeme-li v úvahu, že argument x musí to být nezáporné číslo.
Nejprve určíme rozsah hodnot argumentu, například od 0 do 10. Poté pomocí tohoto omezení vypočítáme příslušné hodnoty funkce y pro každou hodnotu x. Nalezené body (souřadnice) (x, y) pojďme se podívat na grafiku.
Počet bodů na grafu závisí na tom, jak často volíme hodnoty argumentu. Čím menší je interval mezi hodnotami argumentu, tím více bodů bude na grafu a tím podrobněji se zobrazí chování funkce.
Krok 4. Nakreslete souřadnicovou rovinu
Chcete-li nakreslit souřadnicovou rovinu, můžete použít obyčejný list papíru nebo speciální mřížku pro grafy. Na vodorovné ose absces se obvykle ukládají hodnoty x a na svislé ose jsou ordinat hodnoty y.
Pro příklad si vezměme rozsah hodnot x od 0 do 10. Krok osy x lze přitom zvolit libovolně. Například vybereme Krok 1, to znamená, že odložíme hodnoty x v kroku 1. Tímto způsobem nakreslíme značky na vodorovné ose absces podle hodnot x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Poté, v ose ordinát odložíme hodnoty y, které získáme z funkce y = kořen z x.například pro x = 2, hodnota funkce bude y = kořen z 2. Proto tuto hodnotu odložíme na svislou osu a dostaneme první bod grafu.
Tuto operaci opakujeme pro všechny hodnoty x ve zvoleném rozsahu a získáme sadu bodů grafu funkce y = kořen z x. počet bodů se bude rovnat počtu hodnot x ve zvoleném rozsahu.
Krok 5. Vytvořte souřadnicové osy
Jakmile určíme hranice grafu a počet bodů, je nutné nakreslit souřadnicové osy na našem grafu. Souřadnicové osy nám pomohou orientovat se v prostoru a určit polohu bodů.
Pro začátek nakreslíme vodorovnou osu souřadnic, která bude označovat hodnotu proměnné x. Osa může být umístěna kdekoli v grafu, ale obvykle prochází středem. K tomu určíme střed vodorovně a nakreslíme vodorovnou čáru.
Poté nakreslíme svislou osu souřadnic, která bude označovat hodnotu proměnné y. Osa může být také umístěna kdekoli v grafu, ale obvykle prochází středem. K tomu určíme střed svisle a nakreslíme svislou čáru.
Podpisy na osách souřadnic nám pomohou určit hodnoty proměnných. Obvykle jsou na vodorovné ose souřadnice podepsány hodnoty proměnné x a na svislé ose souřadnic hodnoty proměnné y.
Nyní, když jsme postavili souřadnicové osy, můžeme přejít ke kroku 6 a nakreslit body do grafu.
Nalezení počtu bodů
K nalezení počtu bodů, ve kterých funkce y = kořen z x protíná osu absces, je nutné najít hodnoty argumentu x, ve kterých je funkce nulová. Musíme vyřešit rovnici.:
Tato rovnice odpovídá následující:
Funkce y = kořen z x tedy má pouze jeden průsečík s osou absciss - (0, 0).
Krok 6. Vyřešit rovnici kořen z x = 0
Abychom vyřešili rovnici kořen z x = 0, musíme najít takovou hodnotu proměnné x, ve které je kořen z ní nulový. Kořen z čísla je nulový pouze tehdy, když je samotné číslo nulové. Je tedy nutné vyřešit rovnici x = 0.
Rovnice x = 0 je triviální, protože jediným řešením této rovnice je x = 0. To znamená, že na grafu funkce y = kořen z x (kde x >= 0) bude bod se souřadnicemi (0, 0) jediný.
Počet bodů na grafu funkce y = kořen z X při x > = 0 se rovná 1.
Krok 7. Prozkoumat rostoucí a klesající funkce
Chcete-li prozkoumat rostoucí a klesající funkci y = √X, musíte najít odvozenou funkci a vyřešit nerovnost.
Derivace funkce y = √x rovná se:
Pro stanovení intervalů vzestupné a sestupné Funkce je nutné vyřešit nerovnost:
Tato nerovnost se provádí při x > 0, protože x^(-1/2) se obrací do nekonečna při x = 0.
Funkce y = √X se tedy zvyšuje v intervalu x > 0.
Je důležité poznamenat, že funkce neklesá v celé své definiční oblasti, protože není definována při x < 0.
Počet bodů na grafu funkce y = √X se rovná počtu průsečíků s osou absces. Vzhledem k tomu, že funkce není definována při x < 0, neexistují žádné průsečíky s osou absces.
Krok 8. Najděte maximální počet bodů v grafu
Chcete-li najít maximální počet bodů v grafu funkce y = √x, je třeba rozdělit graf na intervaly a určit počet bodů v každém intervalu.
1. Začněte výběrem intervalu hodnot pro osu x. Můžete například zvolit interval od 0 do 10.
2. Rozdělte vybraný interval na stejné části. Pokud je například vybrán interval 0 až 10, můžete jej rozdělit na 10 stejných intervalů (0 až 1, 1 až 2 atd.).
3. Pro každý interval Vypočítejte hodnotu funkce y = √x. Například pro interval 0 až 1 bude hodnota funkce √0 = 0.
4. Vytvořte plán funkce označením bodů pro každý interval.
5. Spočítejte počet bodů v grafu. To bude maximální počet bodů na grafu funkce y = √x.
6. Pokud je to nutné, opakujte kroky 1-5 pro další intervaly hodnot.
Tímto způsobem můžete podle uvedených kroků najít maximální počet bodů v grafu funkce y = √x.