Lomená čára je geometrický objekt složený z úseků, které spojují posloupnost bodů. Tento materiál bude věnován výpočtu délky zlomené 2. třídy, což je jeden z hlavních úkolů ve školním programu geometrie.
Chcete-li najít délku zlomené třídy 2, musíte střídavě měřit délky všech úseků, které tvoří zlomenou, a dát je dohromady. Je důležité vědět, že každá část má počáteční a koncový bod a délka úsečky se rovná vzdálenosti mezi těmito body. V tomto případě je třeba vzít v úvahu, že lámaná může mít libovolný tvar, což znamená, že celá sekvence úseků může být různých délek.
Ilustrujeme délku zlomené 2. třídy na příkladu. Předpokládejme, že máme zlomenou se čtyřmi délkami, jejichž délky jsou 3, 5, 2 a 4 jednotky. Podle výše popsané metody musíme tyto hodnoty sčítat: 3 + 5 + 2 + 4 = 14. Délka této zlomeniny je tedy 14 jednotek.
Co je zlomená a proč je třeba počítat s její délkou?
Jednou z důležitých charakteristik lámané je její délka. Výpočet délky lámané umožňuje určit měřítko a proporce postavy a použít ji v dalších výpočtech a stavbách.
Vypočítat délku lámané lze různými způsoby. Jednou z nejběžnějších metod je metoda polygonální linie. Chcete-li to provést, musíte rozdělit zlomenou na délky a spočítat počet délek všech úseků.
Přesná délka zlomeniny může být důležitá, například při vytváření mapy nebo plánu, abyste mohli prezentovat informace s přesností a pravdivostí. Také výpočet délky lámané může být užitečný v geometrii, grafu a dalších oblastech, kde je třeba pracovat s tvary a jejich charakteristikami.
Způsoby výpočtu délky zlomené
Výpočet délky lomu lze provést různými metodami, v závislosti na dostupných datech a požadavcích. Zvažte několik způsobů výpočtu:
1. Metoda ploch geometrických tvarů. Tato metoda je založena na rozdělení lámané na trojúhelníky nebo obdélníky a výpočtu plochy každého obrázku. Získané plochy se pak sčítají a výsledná částka je přibližnou délkou lomené.
2. Metoda výpočtu součtu délek úseků. V této metodě je lomeno rozděleno na segmenty a každý segment je vypočítán pomocí daných souřadnic bodů. Poté se sčítají výsledné délky úseků a výsledný součet je zlomená délka.
3. Metoda použití vzorce vzdálenosti mezi body. Tato metoda používá vzorec, který umožňuje vypočítat vzdálenost mezi dvěma body v rovině. Pro každý pár bodů na lámanou se použije tento vzorec a získané vzdálenosti se sečtou, aby se vytvořila délka zlomené.
Volba metody výpočtu délky lámané závisí na konkrétní situaci a dostupných datech. Každá metoda má své výhody a nevýhody a může být více či méně přesná v závislosti na vlastnostech lomu.
Metoda počítání zlomených úseků
Pro výpočet délky zlomené se používá metoda sčítání úseků. Tato metoda je založena na rozdělení lámané na délky a výpočtu jejich délek. Výsledné délky úseků se pak sečtou, aby se celková délka zlomila.
Pro použití této metody je nutné mít sadu souřadnic bodů, kterými lomená prochází. Souřadnice bodů jsou obvykle reprezentovány jako páry (x, y), kde x horizontální souřadnice a y - vertikální souřadnice. Na základě těchto souřadnic můžeme najít délku jednotlivých úseček pomocí vzorce vzdálenosti mezi dvěma body.
Předpokládejme, že máme zlomenou, která prochází následujícími body: (2, 3), (5, 7), (8, 4), (10, 9).
Prvním krokem musíme najít délku úsečky mezi prvním a druhým bodem. Chcete-li to provést, musíte vypočítat vzdálenost mezi těmito dvěma body pomocí vzorce:
Kde (x1, y1) a (x2, y2) souřadnice prvního a druhého bodu.
Pokračováním tohoto procesu pro každý další úsek můžeme najít délky všech úseků, které tvoří zlomenou. Nakonec se tyto délky sečtou, aby se celková délka zlomila:
Kde L - celková délka zlomené, a AB, BC, CD - délky každého jednotlivého úseku.
Metoda počítání zlomených úseků tedy umožňuje najít její délku, rozdělit zlomenou na délky a shrnout jejich délky.
Metoda rozdělení na trojúhelníky
Abyste mohli tuto metodu používat,musíte znát souřadnice všech vrcholů lomené. Pokud je lomená nastavena v kartézském souřadnicovém systému, lze souřadnice najít jednoduše odečtením souřadnic druhého bodu souřadnice prvního atd.
Jakmile známe souřadnice všech vrcholů, můžeme vytvořit trojúhelníky s vědomím, že jejich vrcholy budou zlomené body. Pak pomocí geronova vzorce můžeme najít plochu každého trojúhelníku. Jak je známo, oblast trojúhelníku lze nalézt s vědomím délky jeho stran prostřednictvím následujícího vzorce:
S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
Kde S - plocha trojúhelníku, p - poloperimetr trojúhelníku, a, b, c - délky stran trojúhelníku.
Když najdeme plochy všech trojúhelníků a složíme je, získáme plochu celé zlomené. Chcete-li najít délku zlomené, musíte z plochy extrahovat druhou odmocninu.
Příklady výpočtu délky zlomené
Pro názornost se podívejme na několik příkladů výpočtu délky lámané.
Příklad 1:
Dana lomanová ABCD, kde A(-2, 1), B(-1, 3), C(1, 2) a D (3, -1). Chcete-li vypočítat délku zlomené, musíte střídavě najít vzdálenost mezi každým párem sousedních bodů a složit tyto vzdálenosti.
Délka úseku AB: √((-1 - (-2))2 + (3 - 1)2) = √(1 + 4) = √5
Délka úseku BC: √((1 - (-1))2 + (2 - 3)2) = √(4 + 1) = √5
Délka CD: √((3 - 1)² + (-1 - 2)²) = √(4 + 9) = √13
Celková délka zlomeného ABCD: √5 + √5 + √13
Příklad 2:
Dana lomanová A(0, 1), B(2, 3) A C (4, 0).
Délka úseku AB: √((2 - 0)2 + (3 - 1)2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
Délka úseku BC: √((4 - 2)2 + (0 - 3)2) = √(4 + 9) = √13
Celková délka zlomeného ABC: 2√2 + √13
Příklad 3:
Dana lomanová A(1, 2), B(3, 4), C(2, 5) A D (0, 3).
Délka úseku AB: √((3 - 1)2 + (4 - 2)2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
Délka úseku BC: √((2 - 3)2 + (5 - 4)2) = √(1 + 1) = √2
Délka CD: √((0 - 2)2 + (3 - 5)2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
Celková délka zlomeného ABCD: 2√2 + √2 + 2√2 = 5√2
Délku lámané lze tedy vypočítat tak, že znáte souřadnice vrcholů a použijete vzorec pro vzdálenost mezi body v prostoru.
Příklad 1: jednoduchý výpočet lámané s danými souřadnicemi
Pro výpočet délky lomené s danými souřadnicemi je nutné provést následující kroky:
- Zapište si souřadnice zlomených bodů jako páry čísel (x, y).
- Vypočítejte vzdálenost mezi každým párem bodů pomocí vzorce vzdálenosti mezi dvěma body v kartézském souřadnicovém systému:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Podívejme se na příklad:
Nechť jsou uvedeny následující souřadnice zlomených bodů: (1, 2), (4, 6), (7, 8), (9, 12).
Vypočítáme vzdálenost mezi každým párem bodů:
| Body | Vzdálenost |
|---|---|
| (1, 2) - (4, 6) | √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = 5 |
| (4, 6) - (7, 8) | √((7 - 4)^2 + (8 - 6)^2) = 3.605 |
| (7, 8) - (9, 12) | √((9 - 7)^2 + (12 - 8)^2) = 4.472 |
Nyní sečteme všechny hodnoty vzdáleností:
Celková délka lomu = 5 + 3.605 + 4.472 = 12.077
Délka dané lomené s danými souřadnicemi je tedy přibližně 12.077 jednotek.
Příklad 2: Výpočet délky složité zlomené v grafu
Řekněme, že máme na grafu složenou složitou zlomeninu, která se skládá z několika segmentů. Chcete-li najít délku takové lámané, musíte ji rozdělit na délky a spočítat délku každého jednotlivého segmentu.
Vezměme si další zlomenou:
| Číslo úseku | Souřadnice začátku | Souřadnice konce | Délka |
|---|---|---|---|
| 1 | (1, 4) | (3, 2) | √((3-1) 2 + (2-4) 2 ) = √(2 2 + (-2) 2 ) = √8 ≈ 2.83 |
| 2 | (3, 2) | (5, 1) | √((5-3) 2 + (1-2) 2 ) = √(2 2 + (-1) 2 ) = √5 ≈ 2.24 |
| 3 | (5, 1) | (7, 3) | √((7-5) 2 + (3-1) 2 ) = √(2 2 + 2 2 ) = √8 ≈ 2.83 |
| 4 | (7, 3) | (9, 5) | √((9-7) 2 + (5-3) 2 ) = √(2 2 + 2 2 ) = √8 ≈ 2.83 |
Pro nalezení celkové délky složité zlomené, sečteme délky všech úseků:
Celková délka = 2.83 + 2.24 + 2.83 + 2.83 = 11.73.
Délka této složité zlomené v grafu je tedy přibližně 11.73 jednotek délky.