Mnohoúhelníky jsou jedním ze základních geometrických tvarů, které se často vyskytují v matematice a geometrii. Plocha mnohoúhelníku je veličina, která určuje jeho plochu, tedy množství prostoru zabíraného touto postavou v rovině. Existuje mnoho vzorců pro výpočet plochy různých mnohoúhelníků a jedním z nich je vzorec, který je založen na obvodu mnohoúhelníku a poloměru vepsaného kruhu.
Obvod mnohoúhelníku je součtem délek všech jeho stran a poloměr vepsaného kružnice je vzdálenost od středu k jakémukoli bodu, který patří k mnohoúhelníku. Vzorec pro nalezení plochy mnohoúhelníku po obvodu a poloměru vepsaného obvodu umožňuje určit plochu mnohoúhelníku pomocí těchto dvou parametrů.
Pro aplikaci tohoto vzorce je nutné znát obvod mnohoúhelníku, který lze spočítat složením délek všech jeho stran. Je také nutné znát poloměr vepsaného kruhu, který by měl být uvnitř mnohoúhelníku a dotýkat se všech stran. Vložením těchto hodnot do vzorce a provedením potřebných výpočtů lze získat plochu mnohoúhelníku.
Co je polygon a vložený obvod?
Integrovaný obvod mnohoúhelníku je kružnice, která leží zcela uvnitř mnohoúhelníku a dotýká se všech jeho stran. Kružnice je vepsána do mnohoúhelníku, pokud je poloměr tohoto kružnice roven poloměru kružnice vepsané do kteréhokoli z jeho trojúhelníků.
Vložený obvod má několik důležitých vlastností. Za prvé, poloměr vepsaného kružnice je vzdálenost od středu kružnice k libovolné straně mnohoúhelníku. Za druhé, všechny poloměry vepsaného kružnice, které jsou vedeny k bodům dotyku kružnice a stran mnohoúhelníku, jsou si navzájem rovny. Za třetí, součet délek všech stran mnohoúhelníku se rovná obvodu obvodu obvodu, který je do něj vepsán.
Použití vhodného obvodu umožňuje pohodlnější a přesnější studium vlastností a měření vlastností mnohoúhelníku. Nalezení plochy mnohoúhelníku po obvodu a poloměru vepsaného obvodu je navíc jedním ze způsobů výpočtu plochy mnohoúhelníku, který může být užitečný při řešení různých geometrických problémů.
Vzorec plochy polygonu
Vzorec pro nalezení plochy mnohoúhelníku závisí na jeho tvaru a velikosti. Existuje několik způsobů, jak vypočítat tuto veličinu, v závislosti na dostupných datech o polygonu.
Pokud jsou známé strany mnohoúhelníku a jeho obvod, můžete použít Geronův vzorec:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c). )
kde S je plocha mnohoúhelníku, p je semiperimetr mnohoúhelníku (součet všech jeho stran dělený 2), a, b, c. jsou strany mnohoúhelníku.
Pokud je znám poloměr vepsaného obvodu a počet stran mnohoúhelníku, můžete použít vzorec:
S = n * r 2 * sin(360° / n)
kde S je plocha mnohoúhelníku, n je počet stran mnohoúhelníku, R je poloměr vepsaného kruhu.
Existují také další metody výpočtu plochy mnohoúhelníku, včetně jeho rozdělení na trojúhelníky a použití souřadnicových vzorců. Na výběru vzorce závisí přesnost výpočtu a dostupnost potřebných dat.
Jak najdete oblast mnohoúhelníku po jeho obvodu a poloměru vepsaného obvodu?
Chcete-li použít tento vzorec na mnohoúhelník, musíte jej rozdělit na trojúhelníky. Počet trojúhelníků se bude rovnat počtu stran mnohoúhelníku. Každý trojúhelník si lze představit jako základnu a dva poloměry nakreslené z jeho vrcholů do středu vepsaného kružnice.
Obvod mnohoúhelníku označíme jako " P "a poloměr vepsaného kruhu jako"r". Pak lze plochu jednoho trojúhelníku vypočítat podle Geronova vzorce:
S = √( p(p-a)(p-b)(p-c) )
kde" S "je plocha trojúhelníku," p "je semiperimetr trojúhelníku (p = P/2)," a"," b "A" c " jsou jeho strany.
Po výpočtu plochy každého trojúhelníku je nutné je sčítat, aby se vytvořila celková plocha mnohoúhelníku.
Pokud tedy máme obvod a poloměr vepsaného kružnice, můžeme vypočítat plochu mnohoúhelníku pomocí Geronova vzorce.
Mějte na paměti, že tato metoda výpočtu může být složitá pro mnohoúhelníky s více stranami. V takových případech může být účinnější použití jiných metod, jako je rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky nebo použití vzorce plochy mnohoúhelníku založeného na jeho vrcholových souřadnicích.
Příklad nalezení plochy polygonu
Zvažte polygon s obvodem P a poloměrem vepsaného obvodu r.
Chcete-li najít oblast mnohoúhelníku, můžete použít vzorec:
- Ať máme polygon se stranou A = 6 cm.
- Najdeme obvod mnohoúhelníku vynásobením délky strany počtem stran:
- Obvod P = 6 * 6 = 36 cm.
- Pomocí vzorce najdeme poloměr kružnice:
- r = a / (2 * tg (180 / n)), kde n je počet stran mnohoúhelníku.
- V tomto příkladu máme šestiúhelník, takže n = 6.
- tg(180 / 6) = tg(30°) = 1 / √3 ≈ 0.577.
- Poloměr r = 6 / (2 * 0.577) ≈ 5.196 viz.
- Nyní vložíme hodnoty do vzorce a najdeme oblast mnohoúhelníku:
- S = 36 * 5.196 / 2 93.528 cm2.
Plocha mnohoúhelníku je tedy asi 93.528 centimetrů čtverečních.
Řešení problému: nalezení plochy polygonu po obvodu a poloměru vepsaného obvodu
Úkolem je najít oblast mnohoúhelníku, jehož obvod a poloměr vepsané kružnice jsou známé. Tento úkol lze vyřešit pomocí vzorce, který spojuje obvod a poloměr vepsaného obvodu mnohoúhelníku s jeho plochou.
Vzorec pro nalezení plochy polygonu po obvodu P a poloměru kružnice r vypadat:
Kde S - oblast mnohoúhelníku, P - obvod mnohoúhelníku, r - poloměr kružnice.
K vyřešení problému je třeba do vzorce vložit známé hodnoty obvodu a poloměru vepsaného obvodu a vypočítat plochu mnohoúhelníku.
Příklad řešení problému:
Pro polygon s obvodem P = 24 a poloměrem kružnice r = 3, oblast lze nalézt následovně:
S = 24 * 3 / 2 = 36
Plocha mnohoúhelníku je tedy rovna 36.
Rovnice umožňuje vyřešit problém najít oblast mnohoúhelníku podle známých hodnot obvodu a poloměru vepsaného kruhu. Je to užitečný nástroj pro řešení geometrických problémů a umožňuje vám najít plochu mnohoúhelníku pomocí pouze dvou známých parametrů.
Význam vzorce pro nalezení plochy polygonu po obvodu a poloměru vepsaného obvodu
Integrovaný obvod je zvláště důležitý v geometrii, protože má řadu jedinečných vlastností. Samotný koncept poloměru vepsaného kružnice naznačuje, že kružnice je zcela umístěna uvnitř mnohoúhelníku a dotýká se všech stran. Poloměr vepsaného kružnice je vzdálenost od středu kružnice k jakékoli její straně.
Pomocí tohoto vzorce můžeme efektivně určit plochu mnohoúhelníku i bez znalosti jeho úhlů nebo délek všech stran. Obvod a poloměr vepsaného kružnice jsou poměrně snadno měřitelné a snadno dostupné k nalezení. To usnadňuje výpočet plochy mnohoúhelníku a umožňuje nám rychle získat výsledek, aniž bychom se museli rozptylovat složitými měřeními nebo výpočty.
Kromě toho nám vzorec pro nalezení plochy mnohoúhelníku po obvodu a poloměru vepsaného obvodu umožňuje vyhnout se nutnosti používat další nástroje nebo měřidla. Obvod mnohoúhelníku můžeme snadno najít pomocí pravítka nebo odměrky a vypočítat poloměr vepsaného kružnice pomocí jednoduchých geometrických výpočtů. To vše výrazně šetří čas a zjednodušuje proces výpočtu plochy.
Vzorec pro nalezení plochy mnohoúhelníku po obvodu a poloměru vepsaného kružnice tedy hraje významnou roli v geometrii. Umožňuje nám snadno a rychle určit plochu mnohoúhelníku bez složitých výpočtů nebo použití speciálních nástrojů. Tento vzorec je nepostradatelným nástrojem při práci s mnohoúhelníky a umožňuje nám efektivněji studovat a analyzovat jejich vlastnosti.