Vnější úhel trojúhelníku je úhel vytvořený prodloužením jedné z jeho stran a prodloužením druhé strany. Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku lze vypočítat pomocí znalosti stupňových měřítek dalších dvou úhlů trojúhelníku.
Jednou ze základních vlastností trojúhelníku je, že součet stupňů jeho úhlů je 180 stupňů. Pomocí této vlastnosti můžeme najít stupňovou míru vnějšího úhlu trojúhelníku odečtením součtu stupňových měření dalších dvou úhlů od 180 stupňů.
Představme si trojúhelník ABC, kde úhel A je X stupňů, úhel B je y stupňů a úhel C je vnější úhel je roven z stupňů. Pomocí základní vlastnosti trojúhelníku můžeme zapsat rovnici:
x + y + z = 180
Odtud je snadné vyjádřit stupňovou míru vnějšího úhlu trojúhelníku:
z = 180 - x - y
Vezměme si příklad: pokud je úhel a trojúhelníku ABC 40 stupňů a úhel B je 60 stupňů, pak bude stupňová míra vnějšího úhlu C:
z = 180 - 40 - 60 = 80 stupňů
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku C je tedy 80 stupňů.
Jak najít stupňové měřítko vnějšího úhlu trojúhelníku
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná součtu stupňových měření jeho dvou vnitřních úhlů, které nejsou ohraničeny tímto vnějším úhlem. Jinými slovy, abyste našli stupňovou míru vnějšího úhlu, musíte složit měřítka dvou vnitřních úhlů, které k němu nejsou připojeny.
Například nechť je dán trojúhelník ABC, kde úhel BAC je vnějším úhlem. Chcete-li najít jeho krokové opatření, musíte složit měřítka úhlů ABC a ACB.
Příklad 1:
Řekněme, že úhel ABC je 50 stupňů a úhel ACB je 70 stupňů. Chcete-li najít měření stupně vnějšího úhlu BAC, musíte složit 50 stupňů a 70 stupňů.
Stupňová míra vnějšího úhlu BAC je 120 stupňů.
Příklad 2:
Nechť je dán trojúhelník DEF. Úhel DFE je 45 stupňů a úhel EFD je 60 stupňů. Chcete-li najít měření stupně vnějšího úhlu DEF, musíte složit 45 stupňů a 60 stupňů.
Stupňová míra vnějšího úhlu DEF je 105 stupňů.
Chcete-li tedy najít stupňovou míru vnějšího úhlu trojúhelníku, musíte složit míry dvou vnitřních úhlů, které nejsou ohraničeny tímto vnějším úhlem. Toto jednoduché pravidlo usnadňuje řešení problémů spojených s trojúhelníky.
Určení stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku
K nalezení stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku lze použít následující vzorec:
| Stupňová míra vnějšího úhlu | = | Součet stupňů vnitřních úhlů | - | 180° |
|---|
Použijeme tento vzorec na příkladu trojúhelníku ABC:
| Vnitřní úhel A | = | 50° | ||
|---|---|---|---|---|
| Vnitřní úhel B | = | 70° | ||
| Stupňová míra vnějšího úhlu C | = | (50° + 70°) - 180° | = | 120° |
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku ABC je tedy 120°.
Pomocí tohoto vzorce můžete snadno určit stupňovou míru vnějšího úhlu libovolného trojúhelníku, pokud jsou známy stupňové míry jeho vnitřních úhlů.
Vzorce pro výpočet stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku je určena vzorcem: míra vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná součtu měření vnitřních úhlů, které nejsou sousedící s tímto úhlem.
Vzorec lze napsat následovně:
míra vnějšího úhlu = míra prvního vnitřního úhlu + míra druhého vnitřního úhlu + míra třetího vnitřního úhlu
Pokud mají například úhly trojúhelníku míry 30°, 60° a 90°, pak míra vnějšího úhlu bude:
- míra prvního vnitřního úhlu: 30°
- míra druhého vnitřního úhlu: 60°
- míra třetího vnitřního úhlu: 90°
Vložíme hodnoty do vzorce:
míra vnějšího úhlu = 30° + 60° + 90°
míra vnějšího úhlu = 180°
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku s úhly 30°, 60° a 90° je tedy 180°.
Příklady výpočtu stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku
Pro výpočet stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku je nutné znát stupňové míry dvou vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku a použít následující vzorec:
Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná součtu stupňových měření dvou vnitřních úhlů, které nejsou sousedící s tímto vnějším úhlem.
Podívejme se na několik příkladů:
- Máme trojúhelník ABC, kde úhel A je 60 stupňů, úhel B je 80 stupňů a úhel C je 40 stupňů. Najdeme stupňové měřítko vnějšího úhlu trojúhelníku na vrcholu a. Podle vzorce se stupňová míra vnějšího úhlu rovná součtu stupňových měření dvou vnitřních úhlů, které nejsou připojeny k danému vnějšímu rohu. V tomto případě jsou to úhly B A C.součet stupňů úhlů B A C je 80 + 40 = 120 stupňů. Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku na vrcholu A je tedy 120 stupňů.
- Podívejme se na trojúhelník XYZ s následujícími stupňovými opatřeními vnitřních úhlů: úhel X je 45 stupňů, úhel Y je 60 stupňů a úhel Z je 75 stupňů. Na vrcholu z najdeme stupňové měřítko vnějšího úhlu trojúhelníku. Podle vzorce se stupňová míra vnějšího úhlu rovná součtu stupňových měření dvou vnitřních úhlů, které nejsou připojeny k danému vnějšímu rohu. V tomto případě jsou to úhly X a Y.součet stupňů úhlů X a Y je 45 + 60 = 105 stupňů. Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku na vrcholu Z je tedy 105 stupňů.
- Pro poslední příklad se podívejme na trojúhelník PQR. Nechť je úhel P 30 stupňů, úhel Q je 45 stupňů a úhel R je 75 stupňů. Na vrcholu R najdeme stupňové měřítko vnějšího úhlu trojúhelníku. Podle vzorce se stupňová míra vnějšího úhlu rovná součtu stupňových měření dvou vnitřních úhlů, které nejsou připojeny k danému vnějšímu rohu. V tomto případě jsou to úhly P A Q. součet stupňů úhlů P a Q je 30 + 45 = 75 stupňů. Stupňová míra vnějšího úhlu trojúhelníku na vrcholu R je tedy 75 stupňů.
Doufejme, že tyto příklady vám pomohly lépe porozumět tomu, jak lze vypočítat stupňové měřítko vnějšího úhlu trojúhelníku.
Hodnota stupňové míry vnějšího úhlu pro různé typy trojúhelníků
1. Rovnostranný trojúhelník:
Vnějším úhlu rovnostranného trojúhelníku bude stupňová míra 120°. Všechny vnější úhly rovnostranného trojúhelníku jsou si rovny, protože všechny strany a úhly tohoto trojúhelníku jsou stejné.
2. Rovnoramenný trojúhelník:
U vnějšího úhlu rovnoramenného trojúhelníku bude stupňová míra rovna polovině úhlu mezi základnou a boční stranou. Zde bude vnější úhel vždy větší než hlavní úhel o 180°.
3. Pravoúhlý trojúhelník:
U vnějšího úhlu pravoúhlého trojúhelníku se stupňová míra bude rovnat součtu stupňových měření dvou ostrých úhlů, které nesouvisejí s tímto vnějším úhlem.
4. Ostrý trojúhelník:
U vnějšího úhlu ostrožního trojúhelníku se stupňová míra rovná součtu stupňových měření dvou vnitřních úhlů sousedících s tímto vnějším úhlem.
5. Tupý trojúhelník:
U vnějšího úhlu tupoúhlého trojúhelníku bude stupňová míra rovna rozdílu 180° a stupňové míře vnitřního úhlu sousedícího s tímto vnějším úhlem.
Vlastnosti vnějších úhlů trojúhelníku
Hlavní vlastností vnějších úhlů trojúhelníku je, že jejich součet je vždy 360 stupňů. Tato vlastnost je způsobena skutečností, že při sčítání vnitřních a vnějších úhlů trojúhelníku se získá úplný obrat. Proto, když znáte míru jednoho vnějšího úhlu, můžete určit nebo vypočítat míry ostatních vnějších úhlů.
K výpočtu stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku lze použít následující vzorec:
Stupňová míra vnějšího úhlu = 360 stupňů - stupňová míra odpovídajícího vnitřního úhlu.
Pokud je například míra vnitřního úhlu trojúhelníku 50 stupňů, pak míra odpovídajícího vnějšího úhlu bude:
Stupňová míra vnějšího úhlu = 360 stupňů - 50 stupňů = 310 stupňů.
Míra jakéhokoli vnějšího úhlu trojúhelníku tedy bude vždy větší než míra odpovídajícího vnitřního úhlu o 180 stupňů.
Výpočet stupňové míry vnějšího úhlu trojúhelníku může být užitečný při řešení různých geometrických problémů, jako je vytváření trojúhelníků podle známých měřítek jejich úhlů nebo nalezení neznámých úhlových měřítek u známých stran trojúhelníku.