Když mluvíme o čtyřmístných číslech, která lze sestavit z číslic 12345 bez opakování, okamžitě se objeví touha zjistit přesný počet takových čísel. Tento úkol se na první pohled může zdát složitý, ale ve skutečnosti je to docela jednoduché.
Nejprve se podívejme, kolik možností pro výběr čísel máme pro každou pozici v čísle. Pro první pozici si tedy můžeme vybrat jednu z pěti dostupných číslic. Pro druhou pozici máme jen čtyři čísla, protože první jsme už vybrali. Pro třetí pozici budeme mít tři možnosti a pro čtvrtou dvě.
Nyní můžeme začít vypočítávat celkový počet čtyřmístných čísel z číslic 12345 bez opakování. Chcete-li to provést, musíte vynásobit počet možností výběru číslic pro každou pozici. Dostáváme: 5 * 4 * 3 * 2 = 120. Z číslic 12345 tedy můžeme vytvořit 120 různých čtyřmístných čísel bez opakování.
Počet čísel 12345 bez opakování
Chcete-li vytvořit různá čtyřmístná čísla z číslic 12345 bez opakování, měli byste zvážit všechny možné kombinace těchto číslic.
Existuje 5 možných číslic: 1, 2, 3, 4 a 5. Musíme vybrat 4 z nich, abychom vytvořili čtyřmístné číslo. To se dá udělat 3 060 způsoby podle vzorce kombinací bez opakování: C(5, 4) = 5! / (4!(5-4)!).
Pro sestavení každého čísla jsou vybrány 4 číslice z 5 možných. Takže každá číslice může být na kterékoli ze čtyř pozic. Všechno se ukáže 3 060 x 4 = 12 240 čtyřmístná čísla.
Příklady těchto čísel jsou: 1234, 2345, 1245, 1345 atd. Všechna tato čísla jsou různá a neobsahují opakující se čísla.
Metoda kombinatoriky
K vyřešení tohoto problému je nutné použít kombinace bez opakování. Počet různých čtyřmístných čísel lze určit podle vzorce:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), kde n je počet prvků v množině, K je počet prvků v kombinaci.
V tomto případě n = 5 (číslice 1, 2, 3, 4, 5) A K = 4 (čtyřmístná čísla). Vložíme hodnoty do vzorce:
C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5! / (4! * 1!) = 5
Z číslic 12345 lze tedy bez opakování vytvořit 5 různých čtyřmístných čísel.
První číslice čísla
Kolik různých čtyřmístných čísel lze sestavit z číslic 12345 bez opakování? Pojďme to vyřešit.
Pro začátek si všimněte prvního čísla. Protože to nemůže být nula, máme čtyři možnosti: 1, 2, 3 a 4.
Řekněme, že jsme vybrali první číslo 1. Nyní musíme vybrat tři zbývající čísla ze zbývajících čtyř číslic (2, 3, 4 a 5). To lze provést C (4, 3) = 4 způsoby.
Podobně, pokud vybereme první číslici čísla 2, zbývá nám vybrat tři číslice ze tří zbývajících (1, 3, 4 a 5). Také C (3, 3) = 1 metoda.
Takže pro první číslici čísla 1 Máme 4 * 4 = 16 možných čísel a pro první číslici číslo 2 - 1 * 1 = 1 možné číslo.
Tento proces zopakujeme pro zbývající dvě číslice čísla a sečteme výsledky pro všechny možné první číslice. To nám poskytne celkový počet různých čtyřmístných čísel, která lze sestavit z číslic 12345 bez opakování.
Odpověď na otázku je tedy 16 + 1 + 9 + 6 + 4 = 36.
Druhá číslice čísla
Z číslic 12345 můžeme sestavit různá čtyřmístná čísla bez opakování. Zvažte možnosti, kde druhou číslicí čísla může být kterékoli z čísel 1, 2, 3, 4 nebo 5.
1. Pokud je druhá číslice čísla 1, pak lze zbývající čísla vybrat z čísel 2, 3, 4 a 5. Můžeme tedy vytvořit 4 × 3 × 2 = 24 různých čtyřmístných čísel.
2. Pokud je druhá číslice čísla 2, pak lze zbývající čísla vybrat z čísel 1, 3, 4 a 5. Stejně tak můžeme vytvořit další 4 × 3 × 2 = 24 různých čtyřmístných čísel.
3. Pokud je druhá číslice čísla 3, pak lze zbývající čísla vybrat z čísel 1, 2, 4 a 5. A znovu, můžeme vytvořit 4 × 3 × 2 = 24 různých čtyřmístných čísel.
4. Pokud je druhá číslice čísla 4, pak lze zbývající čísla vybrat z čísel 1, 2, 3 a 5. A znovu, můžeme vytvořit 4 × 3 × 2 = 24 různých čtyřmístných čísel.
5. Pokud je druhá číslice čísla 5, pak lze zbývající čísla vybrat z čísel 1, 2, 3 a 4. A samozřejmě můžeme vytvořit 4 × 3 × 2 = 24 různých čtyřmístných čísel.
Takže druhá číslice čísla může být vybrána z 5 různých možností a celkový počet různých čtyřmístných čísel, která lze sestavit z číslic 12345 bez opakování, se rovná 5 × 24 = 120.
Třetí číslice čísla
V úkolu počítat počet různých čtyřmístných čísel, která lze sestavit z číslic 12345 bez opakování, hraje třetí číslice čísla jednu z klíčových rolí.
Vzhledem k tomu, že se zabýváme čtyřmístnými čísly, lze třetí číslici vybrat z pěti možných variant: 1, 2, 3, 4 nebo 5. Jak ale určit počet čísel pro každou třetí číslici?
Za tímto účelem lze zvážit dvě situace:
- Pokud je již vybrána třetí číslice, mohou být zbývající tři číslice vybrány ze zbývajících čtyř číslic (bez zahrnutí zvolené třetí číslice). Pro každou třetí číslici tedy existuje 4! (4 faktory) možných kombinací zbývajících čísel.
- Pokud třetí číslice ještě není vybrána, pak pro každou z pěti možných třetích číslic vyřešíme problém vybrat tři ze zbývajících čtyř číslic (bez zahrnutí zvolené třetí číslice). To se provádí pomocí kombinatoriky a k tomu existuje vzorec C(4, 3), který je 4.
Celkový počet různých čtyřmístných čísel, která lze sestavit z číslic 12345 bez opakování, se tedy rovná:
4! + 5 * C(4, 3) = 24 + 5 * 4 = 44
Je tedy možné vytvořit 44 různých čtyřmístných čísel z číslic 12345 bez opakování, vzhledem k třetímu číslu čísla.
Čtvrtá číslice čísla
Chcete-li vyřešit problém sestavování čtyřmístných čísel z číslic 12345 bez opakování,
je třeba zvážit všechny možné možnosti pro čtvrtou číslici čísla.
Existuje pět možností pro čtvrtou pozici:
Existuje tedy pět možností pro čtvrtou číslici čísla. Každá z těchto možností
lze kombinovat s každým ze zbývajících čísel pro první, druhou a třetí pozici čísla bez opakování.
Výsledný počet různých čtyřmístných čísel tedy lze nalézt vynásobením počtu možností pro každou pozici:
5 možností pro první pozici, 4 možnosti pro druhou pozici, 3 možnosti pro třetí pozici a 5 možností pro čtvrtou pozici.
Výsledný počet různých čísel se tedy rovná 5 * 4 * 3 * 5 = 300.
Celkový počet čísel
K vytvoření čtyřmístných čísel z číslic 1, 2, 3, 4, 5 bez opakování můžeme použít každé číslo pouze jednou. V tomto případě máme 5 možností, jak vybrat první číslici, 4 možnosti pro druhou číslici, 3 možnosti pro třetí číslici a 2 možnosti pro poslední číslici.
Pomocí pravidla násobení se celkový počet čísel rovná součinu všech možných variant: 5 * 4 * 3 * 2 = 120.
Z číslic 1, 2, 3, 4, 5 tedy můžeme vytvořit 120 různých čtyřmístných čísel bez opakování.