Paralelogramy jsou jedním ze základních geometrických objektů, které se často vyskytují ve školním programu v matematice. Rozebereme, jak najít jeho plochu pomocí kosinus a jaké vzorce pro to existují. S vědomím základních pravidel a vzorců budete moci bez problémů řešit problémy s nalezením plochy rovnoběžníku.
Vzorec pro nalezení plochy rovnoběžníku přes kosinus je založen na tom, že výška snížená o kteroukoli ze stran je součin této strany na kosinus úhlu mezi danou stranou a jejím pokračováním. Plocha rovnoběžníku se rovná součinu kterékoli z jeho stran do výšky, která je na této straně. Také plochu rovnoběžníku lze spočítat jako součin délek jeho dvou příčných vektorů.
Podívejme se na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku přes kosinus. Ať máme rovnoběžník se stranami a = 5 A b = 3 a úhel mezi těmito stranami je 60 stupňů. Najdeme plochu tohoto paralelogramu přes kosinus. K tomu použijeme vzorec S = A * b * cos (úhel).
Co je plocha rovnoběžníku?
K nalezení plochy rovnoběžníku lze použít různé metody výpočtu, včetně metody založené na znalosti kosinus úhlu mezi stranami rovnoběžníku.
Vzorec pro výpočet plochy paralelogramu přes kosinus má vzhled:
S = a * b * cos(α), kde:
- S-plocha rovnoběžníku;
- a A b - délky dvou stran rovnoběžníku;
- a-úhel mezi těmito stranami.
Tento vzorec je založen na vlastnostech rovnoběžníku - pokud jsou známy dvě strany a úhel mezi nimi, pak lze plochu rovnoběžníku nalézt jako součin délek těchto stran a kosinu úhlu mezi nimi.
Použití tohoto vzorce může být užitečné v různých situacích, jako je nalezení plochy pozemku ve tvaru rovnoběžníku nebo při výpočtu plochy povrchu ohraničené stranami rovnoběžníku.
Jak najdu plochu rovnoběžníku přes kosinus?
Oblast rovnoběžníku lze nalézt pomocí kosinu úhlu mezi jeho dvěma stranami. K tomu je třeba znát délku těchto stran a velikost úhlu mezi nimi.
Vzorec pro výpočet plochy rovnoběžníku přes kosinus je následující:
S = a * b * sin(α)
- S - Plocha rovnoběžníku
- a a b - délky stran rovnoběžníku
- α - úhel mezi stranami
Pro rovnoběžník se stranami o délce 5 a 7 a úhlu mezi nimi 60 stupňů:
S = 5 * 7 * sin(60°) = 35 * 0.866 = 30.31
Plocha tohoto paralelogramu je tedy přibližně 30.31 čtverečních jednotek.
Vzorec pro výpočet plochy rovnoběžníku přes kosinus
Oblast rovnoběžníku lze nalézt pomocí kosinu úhlu vytvořeného dvěma stranami rovnoběžníku.
Vzorec pro výpočet plochy rovnoběžníku přes kosinus je následující:
Plocha = a * b * sin(α)
- a - délka jedné ze stran rovnoběžníku
- b - délka druhé strany rovnoběžníku
- α - úhel mezi těmito dvěma stranami
Pro výpočet plochy rovnoběžníku musíte znát délku jeho dvou stran a velikost úhlu mezi nimi. Poté se použije vzorec, kde je kosinus úhlu α nahrazen sinusem tohoto úhlu, protože sin(α) = cos(90° - α) = cos (β), kde β je další úhel.
Například pro rovnoběžník s 5 a 8 stranami a úhlem mezi nimi 60 stupňů bude plocha rovna:
Plocha = 5 * 8 * sin (60°) ≈ 20.78
Příklady výpočtu plochy rovnoběžníku přes kosinus
Chcete-li najít plochu rovnoběžníku přes kosinus, musíte znát délku jedné z jeho stran a také velikost úhlu mezi touto stranou a sousední stranou.
Nechť je dán rovnoběžník ABCD, ve kterém jsou známy délky stran AB = 6 cm a BC = 5 cm a úhel mezi nimi je 60 stupňů. Najdeme plochu tohoto paralelogramu.
- Najdeme délku úhlopříčky AC pomocí kosinové věty: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(60).
- Vypočítáme AC^2: AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 * 6 * 5 * 0.5 = 36 + 25 - 60 = 1.
- Protože AC > 0, pak AC = 1.
- Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délky strany AB na výšku, která je na této straně snížena: S = AB * h.
- Vypočítáme výšku h pomocí výškového vzorce přes kosinus: h = AC * sin (60).
- Nastavíme hodnoty: h = 1 * sin(60) = 1 * √3/2 = √3/2.
- A nakonec najdeme plochu rovnoběžníku: S = 6 * √3/2 = 3√3 cm^2.
Zvažte rovnoběžník QXYZ, který zná délky stran QX = 8 cm a XY = 5 cm a úhel mezi nimi je 45 stupňů. Najdeme plochu tohoto paralelogramu.
- Podobně jako předchozí příklad najdeme délku úhlopříčky QY pomocí kosinové věty: QY^2 = QX^2 + XY^2 - 2 * QX * XY * cos(45).
- Vypočítáme QY^2: QY^2 = 8^2 + 5^2 - 2 * 8 * 5 * 0.7071 = 64 + 25 - 56.57 = 32.43.
- Protože QY > 0, pak QY = √32.43 = 5.69.
- Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délky strany QX na výšku dolů na tuto stranu: S = QX * h。
- Vypočítáme výšku h pomocí výškového vzorce přes kosinus: h = QY * sin (45)。
- Nastavíme hodnoty: h = 5.69 * sin(45) = 5.69 * 0.7071 = 4.03。
- A nakonec najdeme plochu rovnoběžníku: S = 8 * 4.03 = 32.24 cm^2。
Jak najdu výšku rovnoběžníku přes oblast a základnu?
K nalezení výšky rovnoběžníku, pokud je známa jeho plocha a délka jedné ze stran( základna), lze použít následující vzorec:
Výška rovnoběžníku = (2 * Plocha rovnoběžníku) / (délka základny)
Ať máme rovnoběžník se stranami, ze kterých je známá jedna strana (základna) o délce 6 jednotek. Plocha rovnoběžníku je 24 čtverečních jednotek. Chcete-li najít výšku rovnoběžníku, můžete použít vzorec:
Výška rovnoběžníku = (2 * 24) / 6 = 8 jednotky
Výška rovnoběžníku je tedy 8 jednotek.