Lichoběžník je jedním z nejzajímavějších geometrických tvarů, který má široké uplatnění v různých oblastech vědy a techniky. Rovnoramenný lichoběžník je takový lichoběžník, který má dvě jeho strany umístěné vedle sebe v délce. V tomto článku se podíváme na metody, jak najít výšku rovnoramenného lichoběžníku, pokud je znám úhel mezi boční stranou a základnou rovnoramenného lichoběžníku, který je 45 stupňů.
Chcete-li najít výšku rovnoramenného lichoběžníku s úhlem 45 stupňů, musíte znát délku boční strany a délku jedné ze základen. Výška rovnoramenného lichoběžníku je úsečka kolmá k takové základně, která začíná z jeho vrcholu a prochází opačnou stranou. K vyřešení tohoto problému lze použít vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku a základní geometrické vzorce.
Podíváme se na dva způsoby, jak najít výšku rovnoramenného lichoběžníku s úhlem 45 stupňů. První metoda je založena na použití Pythagorovy věty a druhá na použití trigonometrických funkcí. Stačí si jen vybrat, který z nich bude ve vašem konkrétním případě nejvhodnější.
Co je rovnoramenný lichoběžník?
Jednou z vlastností rovnoramenného lichoběžníku je, že jeho úhlopříčky jsou kolmé. Úhlopříčka je segment, který spojuje dva vrcholy lichoběžníku, které nejsou sousední.
V rovnoramenném lichoběžníku lze nakreslit osu symetrie, která ji rozděluje na dvě stejné části. Osa symetrie je čára, která odráží tvar na obou stranách tak, že každá jeho polovina je zrcadlovým odrazem druhé.
Rovnoramenné lichoběžníky mají několik odrůd, včetně obdélníkového rovnoramenného lichoběžníku, který má jeden z úhlů 90 stupňů.
Rovnoramenné lichoběžníky jsou široce používány v geometrických výpočtech a konstrukcích, protože jejich vlastnosti usnadňují řešení problémů spojených s touto geometrickou postavou.
Jak zjistíte výšku rovnoramenného lichoběžníku?
K nalezení výšky rovnoramenného lichoběžníku lze použít Pythagorovu větu, kde výška je přeponou pravoúhlého trojúhelníku a základny jsou katety. Vzdálenost mezi základnami je základna trojúhelníku.
Vzorec pro výpočet výšky rovnoramenného lichoběžníku má vzhled:
h = sqrt((a^2 - b^2) / 4)
kde h - výška lichoběžníku, a - délka jednoho základu, b - vzdálenost mezi základnami.
Použitím tohoto vzorce lze nalézt výšku rovnoramenného lichoběžníku při známých hodnotách délky jedné základny a vzdálenosti mezi základnami.
Jsou známy délky bází a úhel 45 stupňů
Pro nalezení výšky rovnoramenného lichoběžníku s úhlem 45 stupňů, pokud jsou známy délky jeho bází, lze použít Pythagorovu větu.
Nechte základny lichoběžníku délky a A b a výšku označíme jako h.
Pojďme se podívat na vzorec pro nalezení délky úhlopříčky procházející základnami rovnoramenného lichoběžníku:
C2 = a2 + b2 - 2AB * cos (45°)
Z tohoto vzorce můžeme vyjádřit kosinus 45 stupňů:
cos(45°) = (c² - a² - b²) / (-2ab)
Nyní můžeme použít trojúhelník tvořený základnou a, výšku h a úhlopříčku c k napsání odpovídajícího poměru:
cos(45°) = h / c
Nyní můžeme nastavit výraz pro cosinus 45 stupňů, abychom vyjádřili výšku h:
h = c * (c² - a² - b²) / (-2ab)
Pokud jsou tedy známy délky bází rovnoramenného lichoběžníku a úhel 45 stupňů, můžeme tento vzorec použít k nalezení jeho výšky.
Je známa délka jedné základny a úhly při základech
K nalezení výšky rovnoramenného lichoběžníku, kdy je známa délka jedné základny a úhly při základech, můžeme použít trigonometrické Poměry.
Nechť délka jedné základny rovnoramenného lichoběžníku je a a úhly na základech jsou α a β.
K nalezení výšky h můžeme použít následující vzorec:
h = a * (sin(α)/sin(β))
Kde sin(α) je sin úhlu α a sin (β) je sin úhlu β.
Vložením známých hodnot do vzorce můžeme najít výšku rovnoramenného lichoběžníku.
Známé strany a úhel 45 stupňů
Chcete-li najít výšku rovnoramenného lichoběžníku, pokud jsou známy boky a úhel 45 stupňů, musíte použít větu sinus.
Nechť a A b jsou boky lichoběžníku a H je výška.
Pak použijeme vzorec:
Pro nalezení výšky h je třeba vyřešit rovnici:
Výšku rovnoramenného lichoběžníku lze tedy nalézt vynásobením hodnoty strany 45 stupňů sinusu.
| Známo | Najít |
|---|---|
| Boční strana a | Výška h |
| Boční strana b | |
| Úhel 45° |
Známá je délka jedné strany a úhly při základech
Pokud je známa délka jedné strany a úhly při základech rovnoramenného lichoběžníku, můžete najít jeho výšku pomocí geometrických výkladů.
Pro začátek pamatujte, že rovnoramenný lichoběžník má dvě stejné základny a dvě stejné strany. Označíme základy lichoběžníku jako a A b a boční stranu jako c.
Když znáte úhly při základech, můžete najít úhel mezi základnami. Vzhledem k tomu, že lichoběžník je rovnoramenný, součet dvou úhlů při základech je 180 stupňů. Děleno dvěma, toto množství dává velikost úhlu mezi základnami.
Podle kosinus věty, v trojúhelníku se stranami a, b a úhlem mezi nimi, je čtverec jedné ze stran součtem čtverců ostatních dvou stran mínus zdvojnásobený součin těchto stran na kosinus úhlu mezi nimi: C^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(úhel mezi základnami).
Nyní známe délku boční strany c a délku bází a A b. Chcete-li najít výšku lichoběžníku, můžete použít vzorec plochy trojúhelníku: s = (základna * výška) / 2. V případě rovnoramenného lichoběžníku jsou základny rovnoběžné a přiléhavé, takže výška se rovná vzdálenosti mezi základnami.
Chcete – li tedy najít výšku rovnoramenného lichoběžníku, můžete vyřešit rovnici S = (a + b) * H / 2, Kde A A b jsou základny lichoběžníku, H je hledaná výška.
Nyní pomocí těchto vzorců a dat známých z lichoběžníku můžete najít jeho výšku a pokračovat v řešení geometrických problémů.
Jsou známy délky obou bočních stran a jedna základna
Pokud jsou známy délky obou bočních stran a jedna základna, pak lze výšku rovnoramenného lichoběžníku nalézt pomocí následujícího vzorce:
Výška (h) rovnoramenného lichoběžníku lze nalézt podle vzorce:
- h - výška rovnoramenného lichoběžníku;
- a A b - délky bočních stran;
- S-plocha rovnoramenného lichoběžníku.
Oblast rovnoramenného lichoběžníku lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
Pokud jsou tedy známy délky obou bočních stran a jedna základna, lze pomocí uvedených vzorců vypočítat výšku rovnoramenného lichoběžníku.
Jsou známy délky obou bočních stran a úhel na jedné ze základen
K nalezení výšky rovnoramenného lichoběžníku, kdy jsou známy délky obou bočních stran a úhel u jedné ze základen, lze použít větu sinus.
Nechť jsou lichoběžníkové strany označeny takto: AB-dlouhá základna, CD-krátká základna, BC a ad - boky, h - výška. Úhel tvořený boční stranou BC a základnou AB je 45 stupňů.
Pro začátek najdeme třetí úhel na základně AB. Vzhledem k tomu, že součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, úhel na základně AB bude roven 180 - 90 - 45 = 45 stupňů.
Nyní použijeme větu sinusů pro trojúhelník ABC, kde úhel C je 45 stupňů:
| BC | / | sin C | = | h | / | sin A |
| BC | / | sin 45° | = | h | / | sin 90° |
Protože sin 90° = 1 a sin 45° = √2 / 2, zjednodušíme výraz:
Odtud dostaneme, že h = BC * √2 / 2.
Výška rovnoramenného lichoběžníku se tedy rovná polovině součinu délky strany na kořen ze 2.