Budování trojúhelníku je jedním ze základních úkolů geometrie, které se začátečníkům mohou zdát obtížné. Ale se správným přístupem a znalostí základních pravidel, můžete snadno vytvořit trojúhelník s vědomím pouze jedné z jeho stran a dvou úhlů.
V tomto článku se podíváme na podrobný návod, jak vytvořit trojúhelník na dané straně a dvou rozích. Přinášíme také několik příkladů pro lepší pochopení procesu.
Než začnete stavět trojúhelník, je důležité znát několik základních pravidel. Za prvé, součet úhlů trojúhelníku je vždy 180 stupňů. Za druhé, trojúhelník je jedinečný s přesností na konstantní proporce. To znamená, že pokud známe jednu stranu a dva úhly trojúhelníku, můžeme najít zbytek parametrů pomocí proporcí a trigonometrických funkcí.
Nyní přejděme k podrobnému návodu. Pro začátek budeme potřebovat kus papíru, průhledné pravítko a oběžník. Vezměte list papíru a naneste bod, který bude vrcholem trojúhelníku. Poté pomocí pravítka nakreslete z tohoto bodu segment, který bude odpovídat dané straně trojúhelníku.
Poté pomocí pravítka a oběžníku označte na řezu dva rohy trojúhelníku. Chcete-li to provést, pomocí oběžníku spojte vrchol trojúhelníku s konci úsečky. Tímto způsobem získáte dva oblouky, které se protínají na vrcholu trojúhelníku. Změřte rohy pravítkem a označte jejich hodnoty.
Nyní se ocitnete v situaci, kdy je nutné najít zbývající úhel trojúhelníku a délku ostatních stran. K tomu využijte proporce a trigonometrické funkce. Najděte součet dvou známých úhlů a odečtěte jej od 180 stupňů. Výsledkem bude hodnota třetího úhlu trojúhelníku.
Když máte všechny hodnoty úhlů trojúhelníku, můžete pomocí trigonometrie najít hodnoty ostatních stran. Pokud máte například stranu AC a známé úhly A A C, pak můžete pomocí trigonometrických funkcí najít strany AB a BC. Zejména aplikace Pravidla sinus nebo kosinus vám může pomoci najít hodnoty stran.
Nyní, znáte krok za krokem návod, jak vytvořit trojúhelník na dané straně a dvou úhlech. Nezapomeňte použít pravidla geometrie a trigonometrie k nalezení zbývajících parametrů. Použití těchto znalostí vám pomůže zvládnout stavbu trojúhelníku bez obtíží.
Výběr strany a dvou úhlů
Než vytvoříte trojúhelník na straně a dvou úhlech, musíte se rozhodnout pro výběr strany a dvou úhlů daného trojúhelníku. To je důležité, abyste měli dostatek informací pro pozdější stavbu.
1. Výběr strany: vyberte známou stranu trojúhelníku, kterou chcete použít k sestavení. Označte tuto stranu písmenem "a".
2. Výběr prvního úhlu: vyberte jeden ze dvou známých úhlů trojúhelníku. Označte tento úhel písmenem "A".
3. Výběr druhého rohu: vyberte jiný známý úhel trojúhelníku. Označte tento úhel písmenem "B".
Po výběru strany a dvou úhlů můžete začít stavět trojúhelník. S vybranými informacemi budete vědět, jaká data použít při výpočtech a jak správně vytvořit trojúhelník s danými stranami a dvěma rohy.
Výpočet třetího úhlu
Při stavbě trojúhelníku na straně a dvou úhlech lze třetí úhel vypočítat pomocí vzorce:
Třetí úhel = 180° - součet dvou daných úhlů
Například, ať máme nastaveny dva rohy: úhel A = 45° a úhel B = 60°. Chcete-li najít třetí úhel, musíte složit hodnoty těchto úhlů a odečíst součet 180°:
Třetí roh = 180° - (45° + 60°) = 75°
Takže třetí úhel trojúhelníku bude 75°.
Úhly trojúhelníku vždy v součtu dávají 180°. Pokud jsou známy dva rohy, třetí úhel lze vždy vypočítat podle tohoto vzorce.
Výpočet druhé strany
Jakmile získáme hodnotu první strany trojúhelníku, přejdeme k výpočtu druhé strany.
K tomu použijeme trigonometrické funkce. V pravoúhlém trojúhelníku s úhlem α stojícím naproti známé straně a se strana b rovná součinu přepony c na sinu úhlu α:
b = c * sin(α)
Vložíme známé hodnoty do vzorce a provedeme výpočet. Například pokud je dána strana a = 5 A úhel α = 30°:
b = c * sin(30°)
K výpočtu sinusu úhlu budeme potřebovat kalkulačku nebo tabulku hodnot sinusů. Po výpočtu sinusu úhlu α jej vynásobíme přeponou c, abychom získali hodnotu druhé strany trojúhelníku.
Použijeme vzorec a provedeme výpočet:
b = c * sin(30°) = 5 * 0.5 = 2.5
Druhá strana trojúhelníku je tedy 2,5.
Výpočet třetí strany
Chcete-li vytvořit trojúhelník na straně a dvou rozích, musíte znát délky všech jeho stran. Pokud jsou známy jedna strana a dva úhly, můžete použít větu sinusů k výpočtu druhé a třetí strany trojúhelníku. Nastavuje poměr mezi délkami stran trojúhelníku a sinusy jeho úhlů.
Věta sinus má následující pohled:
Kde a, b A c jsou strany trojúhelníku, α a β úhly protilehlé stranám a A B, zatímco γ je třetí úhel trojúhelníku.
Pro výpočet třetí strany trojúhelníku lze použít následující algoritmus:
- Jsou známy hodnoty první strany (a) a dvou úhlů (α a β).
- Vypočítáme sinus úhlu γ podle vzorce: sin (γ) = (a * sin (β)) / b.
- Třetí stranu trojúhelníku (c) lze nalézt z poměru: c = (a * sin(γ)) / sin (α).
- Strana a: 5
- Úhel α: 45°
- Úhel β: 60°
- Sin úhlu γ: sin(γ) = (5 * sin (60°)) / 5 = sqrt (3) / 2 ≈ 0.866
- Třetí strana c: C = (5 * sin(γ)) / sin (45°) ≈ 6.12
Pro uvedená původní data by tedy byla třetí strana trojúhelníku přibližně 6.12.
Vytvoření trojúhelníku pomocí pravítka a úhloměru
- Vyberte na listu papíru tečku, která se stane vrcholem vašeho trojúhelníku. Označte ji písmenem A.
- Pomocí pravítka nakreslete z bodu A jednu ze stran trojúhelníku požadovanou délku. Označte koncový bod této strany písmenem B.
- Pomocí úhloměru změřte jeden z daných úhlů trojúhelníku, označený například písmenem α. Umístěte úhloměr na bod A a nakreslete čáru odpovídající úhlu α.
- Opakujte předchozí krok pro druhý nastavený úhel trojúhelníku, označený například písmenem β. Umístěte úhloměr na bod B a nakreslete čáru odpovídající úhlu β.
- Třetí stranu trojúhelníku lze postavit pokračováním linií nakreslených v předchozích krocích od bodů A A B.
Tímto způsobem budete moci vytvořit trojúhelník s danou stranou a dvěma rohy pouze pomocí pravítka a úhloměru. Pamatujte, že je důležité přesně změřit stranu a úhly, abyste získali správný trojúhelník.
Příklad 1: vytvoření trojúhelníku na straně 5 cm a úhlech 45 stupňů a 60 stupňů
Chcete-li vytvořit trojúhelník na daných stranách a rozích, budete muset postupovat podle několika kroků:
Krok 1: Začněte tím, že vytvoříte 5 cm dlouhý úsek pomocí pravítka. Tento úsek bude sloužit jako jedna ze stran trojúhelníku.
Krok 2: Nastavte úhloměr na 45 stupňů a popište oblouk poloměrem rovným délce úsečky. Opakujte tuto operaci pro úhel 60 stupňů. Průsečík těchto dvou oblouků určuje vrchol trojúhelníku.
Krok 3: Spojte vrchol trojúhelníku s dalšími dvěma konci úsečky.
Nyní máte trojúhelník s nastavenou stranou a dvěma zadanými rohy!
Příklad 2: vytvoření trojúhelníku na straně 7 cm a úhlech 30 stupňů a 90 stupňů
K vytvoření trojúhelníku na známé straně a dvou úhlech budeme potřebovat pravítko a oběžník. Podívejme se na příklad trojúhelníku, který má známou stranu o délce 7 cm a úhly o velikosti 30 stupňů a 90 stupňů.
Krok 1: na kus papíru nakreslete 7 cm dlouhý kus pravítka. Bude to jedna ze stran trojúhelníku.
Krok 2: Vezměte oběžník a umístěte jej na jeden z konců provedeného úseku. Umístěte nohy oběžnice tak, aby se dotýkaly jednoho z konců úsečky a nakreslené čáry a zároveň vytvořily úhel o velikosti 30 stupňů.
Krok 3: Udělejte malou značku na listu papíru uvnitř kruhu a označte bod, kde bude druhá strana trojúhelníku.
Krok 4: dalším krokem přejeďte délkou pravítka, které spojuje bod značky s koncem prvního úseku. Výsledná část bude druhou stranou trojúhelníku.
Krok 5: Vezměte oběžník a umístěte jej na druhý konec druhé části. Umístěte nohy oběžnice tak, aby se dotýkaly bodu značky a konce druhé části a zároveň vytvořily úhel o velikosti 90 stupňů.
Krok 6: Udělejte značku na listu papíru uvnitř kruhu a označte bod, kde bude třetí strana trojúhelníku.
Krok 7: spojte bod značky se začátkem prvního úseku pravítkem. Výsledná čára bude třetí stranou trojúhelníku.
Trojúhelník je postaven! Jeho vlastnosti můžete otestovat pomocí úhloměru a změřit délky stran pomocí pravítka.