Tato nerovnost zahrnuje hned několik proměnných, což je pro analýzu složitější. Můžeme však předpokládat, že d A f jsou nějaká přirozená čísla, která mohou mít hodnoty od 1 do nekonečna. Také původní nerovnost nám říká, že konečný výsledek musí být přirozené číslo.
Pro úplnější posouzení situace rozeberme tuto nerovnost na dvě části: 27 x 37 a d2 x f2. První část je součin dvou čísel, která mohou být také reprezentována jako součin prvočísel (tzv. "rozklad na faktory"). V tomto případě dostaneme 999, což není prvočíslo.
Druhá část nerovnosti je součin čtverců čísel d A f. Pokud si všimneme, že D A f jsou přirozená čísla, pak si je lze také představit jako součin prvočísel. V takovém případě budeme mít neurčitý počet možných kombinací, které mohou tuto podmínku splnit.
Kolik přirozených čísel tedy tuto nerovnost splňuje? Neznáme přesnou odpověď, protože počet možných kombinací pro čísla d A f může být nekonečný. Můžeme však konstatovat, že existuje neomezený počet přirozených čísel, která tuto nerovnost splňují.
Řešení nerovnosti
Aby bylo možné tuto nerovnost vyřešit, je nutné vyjádřit všechny proměnné a omezení, kterým podléhají.
V tomto případě máme následující proměnné: d a f. také, máme limit, že čísla musí být přirozená.
Přirozená čísla jsou všechna kladná celá čísla od 1. Označují počet prvků v konečné množině.
Chcete-li tedy najít počet přirozených čísel, která splňují tuto nerovnost, musíte určit rozsah možných hodnot proměnných d A f.
Jedním ze způsobů, jak vyřešit tento úkol, je procházet všechny možné hodnoty těchto proměnných a zkontrolovat, zda nerovnost splňuje každý pár hodnot. Je to však poměrně nákladný a dlouhý proces.
Účinnějším způsobem je analýza nerovností 27 x 37 d2 x f2. Nejprve otevřeme závorky a zjednodušíme výraz:
27 x 37 d2 x f2 = 999 x d2 x f2
Všimněte si, že číslo 999 je tvořeno třemi devátými, takže se beze zbytku dělí na 9.
Podívejme se nyní na výsledný výraz 999 x d2 x f2. Aby byl tento výraz menší nebo roven nějakému přirozenému číslu, je nutné a dostatečné, aby d2 a f2 byly menší nebo rovny tomuto přirozenému číslu. Chcete-li tedy najít počet přirozených čísel, která splňují nerovnost, musíte najít počet přirozených čísel, menších nebo rovných danému číslu.
Chcete-li tedy najít počet přirozených čísel, která splňují tuto nerovnost, musíte najít počet přirozených čísel menších nebo rovných danému číslu 999, postavit toto číslo na druhou a získat odpověď.
Čísla uspokojující nerovnost
Pro řešení této nerovnosti je nutné najít všechna přirozená čísla, která splňují podmínku 27 x 37 d2 x f2.
Nerovnost 27 x 37 d2 x f2 lze přepsat do tvaru:
999 x d x f x G, kde 9 ≤ d ≤ 99, 0 ≤ f ≤ 9 a 0 ≤ g ≤ 9.
Na základě výše uvedeného záznamu najdeme počet možných čísel, která splňují tuto nerovnost:
Počet možných hodnot pro d: 99 - 9 + 1 = 91
Počet možných hodnot pro f, g: 9 - 0 + 1 = 10
Celkový počet čísel uspokojujících nerovnost se tedy rovná:
91 x 10 x 10 = 9100.
Celkem 9100 přirozených čísel tedy tuto nerovnost splňuje.
Studie nerovnosti
Chcete-li najít přirozená čísla, která splňují nerovnost 27 x 37 d2 x f2, musíte každé z nich rozebrat jednotlivě. Poté lze nalezené hodnoty sloučit, aby se dosáhlo konečného výsledku.
Začněme prvním sloganem-27. Je to přirozené číslo, takže v tomto případě je jedinou podmínkou, kterou musí splňovat, být větší nebo rovný 1.
Dále zkoumáme druhý slogan-37. Je to také přirozené číslo a jeho jedinou podmínkou je být větší nebo rovný 1.
Další položkou je d2. K určení přirozeného čísla je zde málo informací. Předpokládejme však, že d je nějaké přirozené číslo a také zavedeme limit pro rozsah jeho hodnot, řekněme 1 až 10. D2 pak může mít hodnoty od 1 do 100.
Poslední jmenovaný je f2. Zde podobně předpokládejme, že F je přirozené číslo a omezme jeho rozsah hodnot od 1 do 10. Pak bude F2 ležet v rozmezí 1 až 100.
Takže máme následující možné hodnoty pro každý slagovaný:
- 27 může mít hodnoty od 1 do 27;
- 37 může mít hodnoty od 1 do 37;
- d2 může mít hodnoty od 1 do 100, za předpokladu, že d je v rozmezí od 1 do 10;
- f2 může mít hodnoty od 1 do 100, za předpokladu, že f je v rozmezí od 1 do 10.
Nyní zkombinujeme hodnoty každého sloganu a najdeme celkový počet přirozených čísel, která splňují tuto nerovnost. Za tímto účelem vynásobíme počet možností pro každou slagovanou: 27 * 37 * 100 * 100 = 9990000.
Existuje tedy 9990000 přirozených čísel, která splňují nerovnost 27 x 37 d2 x f2.
Substituce v nerovnosti
Chcete-li vyřešit nerovnost 27 x 37 d2 x f2, je nutné nahradit různé hodnoty namísto proměnných "d" A "f" a určit, která Přírodní čísla splňují tuto podmínku.
Proměnné "d" A " f " mohou mít hodnoty od 1 do 9, protože jsou to čísla, což znamená, že musí být přirozená čísla.
Je tedy nutné přeskupit všechny možné kombinace hodnot pro proměnné "d" A " f " a určit, ve kterých kombinacích se nerovnost provádí.
Například pro proměnné " d "A" f " se rovná 1, dostaneme:
27 x 37 x 1 x 1 = 999
Při této kombinaci hodnot se tedy provádí nerovnost.
Je třeba pokračovat v substituci a podobně určit, v jakých kombinacích bude nerovnost provedena a v jakých ne.
Zjednodušení výrazů
Faktorizace umožňuje představit složitý výraz jako součin jednodušších faktorů. V případě této nerovnosti, 27 x 37 d2 x f2, můžeme faktorizovat čísla 27 a 37, abychom objasnili možné hodnoty proměnných d A f.
Číslo 27 lze představit jako součin 3 a 9 (27 = 3 x 9) a číslo 37 je prvočíslo a nelze jej faktorizovat. Výraz 27 x 37 d2 x f2 lze tedy zapsat jako (3 x 9) x 37 d2 x f2, což se rovná 3 x 9 x 37 (d2 x f2).
Další zjednodušení výrazu lze dosáhnout spojením podobných sloganů. Pokud například d = 2 a f = 3, dostaneme 3 x 9 x 37 x (2^2 x 3^2), což je rovno (3 x 9 x 37 x 4 x 9).
Zjednodušení výrazu 27 x 37 d2 x f2 nám tedy umožňuje získat jednodušší formu zápisu a usnadnit výpočty při řešení zadaného problému.
Nalezení rozsahu čísel
K vyřešení tohoto problému je třeba najít hodnoty proměnných d a f které uspokojují nerovnost:
27 x 37 d^2 x f^2
Nejprve provedeme potřebné výpočty:
| f | d | 27 x 37 d^2 x f^2 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 999 |
| 1 | 2 | 3996 |
| 1 | 3 | 8991 |
| 2 | 1 | 3996 |
| 2 | 2 | 15984 |
| 2 | 3 | 35976 |
| 3 | 1 | 8991 |
| 3 | 2 | 35976 |
| 3 | 3 | 80959 |
Z tabulky je vidět, že jsou nalezeny následující hodnoty, pro které se nerovnost provádí:
Existují tedy 3 přirozená čísla, která tuto nerovnost splňují.
Kontrola nalezených čísel
Hledání přirozených čísel, která splňují nerovnost 27 x 37 d2 x f2, lze provést následovně:
- Najděte všechny možné hodnoty pro proměnné d A f.
- Vložte hodnoty proměnných do nerovnosti a vypočítejte výsledek.
- Zkontrolujte výsledky, zda jsou splněny podmínky nerovnosti.
- Vyberte čísla, která splňují podmínky nerovnosti.
Po ověření nalezených čísel budete moci určit, kolik přirozených čísel splňuje tuto nerovnost.
Podívali jsme se na nerovnost 27 x 37 d2 x f2 a dali jsme si za úkol zjistit, kolik přirozených čísel tuto nerovnost splňuje.
Nejprve se podíváme na rozdíly v této nerovnosti. D A f jsou neznámá čísla. Tímto způsobem musíme najít všechny hodnoty čísla d A f, ve kterých bude nerovnost provedena.
K vyřešení tohoto problému můžeme použít tabulku, která bude obsahovat všechny možné hodnoty pro d A f. Pak tyto hodnoty vložíme do nerovnosti a zkontrolujeme, zda je splněna nebo ne.
| d | f |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 1 |
| 2 | 2 |
| 2 | 3 |
| . | . |
Pokračujeme - li v nastolování všech možných hodnot pro d A f, zjistíme, že nerovnost se provádí u některých kombinací čísel a u některých ne. Počet přirozených čísel, která splňují tuto nerovnost, se tedy rovná počtu kombinací čísel d A f, ve kterých bude nerovnost provedena.
Sečteno a podtrženo, počet přirozených čísel, která splňují nerovnost 27 x 37 d2 x f2, bude záviset na počtu kombinací čísel d A f, ve kterých bude nerovnost provedena. K vytvoření úplného seznamu všech těchto kombinací budeme potřebovat tabulku, která bude obsahovat všechny možné hodnoty pro čísla d A f.