Polygony! Takové fascinující a vzrušující slovo, které okamžitě evokuje asociace s geometrií a matematikou. Co víme o konvexních mnohoúhelnících a jejich vlastnostech?
Konvexní mnohoúhelník je tvar, jehož všechny vnitřní úhly jsou menší než 180 stupňů. Zajímalo by mě, jaké mohou být hodnoty úhlů uvnitř takových mnohoúhelníků? Pravděpodobně každý zná pravidlo, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Ale co polygon s více než třemi stranami?
Podívejme se na nejjednodušší situaci - když jsou úhly uvnitř mnohoúhelníku stejné. Je pozoruhodné, že mnohoúhelník s rohy rovnými 60 stupňům je správný šestiúhelník. A co když jsou všechny vnitřní úhly 108 stupňů? Kolik stran má takový mnohoúhelník?
Konvexní mnohoúhelník
K nalezení počtu stran n v tomto polygonu můžete použít vzorec:
kde n počet stran a k - počet stupňů v úhlu mnohoúhelníku.
Použijeme-li tento vzorec na náš případ s úhlem 108 stupňů, dostaneme:
n = (180 × (108 − 2)) / 108
Při výpočtu získáme:
n = 180 × 106 / 108 = 1780 / 3 ≈ 593.33
Konvexní mnohoúhelník s úhlem 108 stupňů má tedy přibližně 593 stran.
Rohy mnohoúhelníku
Rohy mnohoúhelníku jsou definovány vnitřními úhly mezi stranami. V konvexním mnohoúhelníku bude každý vnitřní úhel menší než 180 stupňů.
Pokud je známo, že každý vnitřní úhel mnohoúhelníku je 108 stupňů, lze vypočítat počet stran.
K tomu se používá vzorec: počet stran = 360 stupňů / míra jednoho úhlu.
V našem případě je míra jednoho úhlu 108 stupňů, takže vložením hodnot do vzorce získáme:
počet stran = 360 stupňů / 108 stupňů = 3.33
Vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku
K tomu lze použít vzorec pro součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku: S = (n - 2) * 180, kde S je součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku, n je počet stran.
V případě, že každý vnitřní úhel je 108 stupňů, lze zapsat rovnici: s = n * 108.
Když vložíme hodnotu do rovnice, dostaneme: n * 108 = (n - 2) * 180.
Vyřešením této rovnice najdeme počet stran mnohoúhelníku:
108n = 180n - 360
Konvexní mnohoúhelník s vnitřními rohy rovnými 108 stupňům tedy bude mít 5 stran.
Rovnost vnitřních úhlů mnohoúhelníku
K určení počtu stran konvexního mnohoúhelníku se stejnými vnitřními úhly lze použít vzorec:
Počet stran = 360° / Velikost vnitřního úhlu
V tomto případě, protože velikost vnitřního úhlu je 108 stupňů, vložíme tuto hodnotu do vzorce:
Počet stran = 360° / 108°
Při výpočtech získáme:
Počet stran = 3.33.
Ukazuje se, že počet stran mnohoúhelníku není celé číslo. To naznačuje, že neexistuje konvexní mnohoúhelník, který by měl každý vnitřní úhel 108 stupňů.
Takový mnohoúhelník je tedy v geometrii nemožný.
Počet stran konvexního mnohoúhelníku
Chcete-li najít počet stran konvexního mnohoúhelníku, musíte použít vzorec, který spojuje počet stran mnohoúhelníku se součtem jeho úhlů:
| Počet stran | Součet úhlů |
|---|---|
| 3 | 180 stupňů |
| 4 | 360 stupňů |
| 5 | 540 stupňů |
| 6 | 720 stupňů |
Na základě této tabulky můžeme pochopit, že součet úhlů konvexního mnohoúhelníku je roven (počet stran je 2) * 180 stupňů. V našem případě, když je každý úhel 108 stupňů, dáme hodnotu do rovnice:
(počet stran-2) * 180 stupňů = 108 stupňů * počet stran
Poté, co vyřešíme rovnici týkající se počtu stran, dostaneme odpověď:
počet stran = 360 stupňů / (180 stupňů - 108 stupňů) = 360 stupňů / 72 stupňů = 5.
Konvexní mnohoúhelník s každým vnitřním úhlem rovným 108 stupňům má tedy 5 stran.