Podívejme se na to, kolika způsoby lze rozdělit 6 lidí do dvou týmů. K vyřešení tohoto problému můžeme použít kombinatoriku.
Máme tedy šest lidí. Musíme je rozdělit na dva týmy, přičemž každý tým musí být složen z různých lidí.
Pro začátek si vybereme, kolik lidí bude v prvním týmu. Můžeme si vybrat 1 až 5 lidí, protože každý tým musí být alespoň jeden člen. Proto budeme mít 5 možností, jak vybrat počet lidí v prvním týmu.
Po výběru počtu lidí v prvním týmu zbývá jediná možnost-zbývající členové půjdou do druhého týmu. Takže na každý vybraný počet lidí v prvním týmu budeme mít pouze jednu možnost rozdělení na dva týmy.
Celkem budeme mít 5 způsobů, jak rozdělit 6 lidí do dvou týmů.
Celkový přístup
K určení počtu způsobů, jak může 6 lidí tvořit dva týmy, lze použít kombinatoriku.
V tomto případě musíme rozdělit 6 lidí na dva týmy, přičemž pořadí týmů je irelevantní. Tým a s účastníky [1, 3, 5] a tým B s účastníky [2, 4, 6] jsou považováni za stejný tým.
K vyřešení tohoto problému můžete použít vzorec kombinace bez opakování:
kde Cn k - počet kombinací n prvků podle K prvků.
V našem případě n = 6 (celkový počet účastníků) a k = 3 (počet členů v každém týmu, protože každý tým musí být složen ze 3 lidí).
Vložením hodnot do vzorce získáme:
Šest lidí tak může tvořit dva týmy 20 způsoby.
| Tým A | Tým B |
|---|---|
| [1, 2, 3] | [4, 5, 6] |
| [1, 2, 4] | [3, 5, 6] |
| [1, 2, 5] | [3, 4, 6] |
| [1, 2, 6] | [3, 4, 5] |
| [1, 3, 4] | [2, 5, 6] |
| [1, 3, 5] | [2, 4, 6] |
| [1, 3, 6] | [2, 4, 5] |
| [1, 4, 5] | [2, 3, 6] |
| [1, 4, 6] | [2, 3, 5] |
| [1, 5, 6] | [2, 3, 4] |
| [2, 3, 4] | [1, 5, 6] |
| [2, 3, 5] | [1, 4, 6] |
| [2, 3, 6] | [1, 4, 5] |
| [2, 4, 5] | [1, 3, 6] |
| [2, 4, 6] | [1, 3, 5] |
| [2, 5, 6] | [1, 3, 4] |
| [3, 4, 5] | [1, 2, 6] |
| [3, 4, 6] | [1, 2, 5] |
| [3, 5, 6] | [1, 2, 4] |
| [4, 5, 6] | [1, 2, 3] |
Kombinace bez opakování
Abychom našli počet způsobů, jak kombinovat nebo skládat příkazy, můžeme použít vzorec kombinace. Vzorec pro kombinaci bez opakování je následující:
Kde C (n,k) je počet způsobů, jak vybrat k prvků z n prvků bez opakování, a ! označuje faktoriál čísla.
V našem případě máme 6 lidí a chceme je rozdělit na dva týmy, takže k=2 a n=6. Vložením hodnot do vzorce můžeme vypočítat počet způsobů:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = 6 * 5 / (2 * 1) = 15
Existuje tedy 15 způsobů, jak rozdělit 6 lidí do dvou týmů. Každý tým může být složen z různých lidí, jako jsou 3 a 3, 4 a 2, nebo 5 a 1.
Vzorec počtu kombinací
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
- n - počet prvků v množině (v tomto případě počet osob)
- k - počet položek, které musíte vybrat (v tomto případě počet příkazů)
- ! - symbol faktoriálu
Chcete-li například určit počet způsobů, jak rozdělit 6 lidí do dvou příkazů, musíte použít vzorec počtu kombinací:
C(6, 2) = 6! / (2!(6-2)!) = 6! / (2!4!) = (6*5*4*3*2*1) / ((2*1)*(4*3*2*1)) = 15
Existuje tedy 15 různých způsobů, jak sestavit dva 6členné týmy.
Variace počtu kombinací
Pro začátek je třeba určit, kolik způsobů lze vybrat 2 osoby ze 6. K tomu se používá vzorec kombinací:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), kde n je celkový počet prvků, K je počet prvků v kombinaci.
V tomto případě n = 6, k = 2:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5 * 4!) / (2! * 4!) = (6 * 5) / 2! = 30 / 2 = 15.
Existuje tedy 15 způsobů, jak vybrat dva 6členné týmy.
Sestavujeme tabulku pro přehlednost:
| Tým 1 | Tým 2 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
| 1 | 4 |
| 1 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 5 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 3 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
| 5 | 6 |
Výběr dvou šestičlenných týmů lze tedy provést 15 různými způsoby.
Počítání kombinací ručně
Chcete-li vyřešit problém počítání počtu způsobů, jak sestavit dva šestičlenné týmy, můžete použít vzorec kombinací.
Vzorec kombinací má vzhled:
kde n je celkový počet položek ve vzorku a m je počet položek, které je třeba vybrat nebo rozdělit do příkazů.
V našem případě n = 6 A m = 2. Když vložíme hodnoty do vzorce, dostaneme:
dále provedeme výpočty:
- 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720,
- 2! = 2 * 1 = 2,
- 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
S6 2 = 720 / (2 * 24) = 720 / 48 = 15.
Existuje tedy 15 různých způsobů, jak může 6 lidí tvořit dva týmy.
Příklad výpočtu počtu kombinací
Abychom našli počet způsobů, jak může 6 lidí tvořit dva týmy, můžeme použít vzorec kombinací.
Kombinace platí, když na pořadí prvků nezáleží. V tomto případě nebereme v úvahu, v jakém týmu se ten či onen člověk nachází, proto používáme kombinace.
Vzorec pro výpočet počtu kombinací je následující:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),
kde n je celkový počet prvků (v tomto případě 6), K je počet prvků v každé kombinaci (v tomto případě 2) a "!"označuje faktoriál čísla.
Vložíme hodnoty do vzorce:
Nyní lze vypočítat počet kombinací:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5 * 4!)/(2! * 4!) = (6 * 5)/(2 * 1) = 15.
Existuje tedy 15 způsobů, jak sestavit dva šestičlenné týmy.