Představte si situaci: šest lidí se sešlo a mají dvě různé cesty na luxusní dovolenou. Nabízí se otázka: kolika způsoby lze tyto cesty rozdělit mezi všechny účastníky? Koneckonců, každý z nich chce jít na dovolenou a získat příležitost užít si chvíle bezstarostné zábavy.
Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme použít kombinatoriku - část matematiky, která studuje kombinatorické návrhy a metody jejich výčtu. V této situaci nás zajímá počet přestupů ze dvou zájezdů mezi šesti lidmi. Je důležité poznamenat, že cesty jsou různé a lidé jsou také odlišní, takže na pořadí záleží.
Abychom tento problém vyřešili, musíme si vzpomenout na vzorec pro výpočet počtu permutací s opakováními. V tomto případě máme šest lidí a dvě různé cesty. Při rozdělování zájezdů mezi lidi, každý z nich může nabídnout dvě možnosti - získat zájezd nebo zůstat bez něj. Pomocí vzorce pro přeskupování s opakováními tedy získáme celkový počet možností rozdělení cest.
Kolik možností rozdělení dvou cest mezi šest lidí existuje?
K určení počtu možností rozdělení dvou cest mezi šest osob lze použít kombinatoriku.
Rozdělení zájezdů lze považovat za volbu dvou osob ze šesti. Na pořadí výběru přitom nezáleží, proto se používá kombinace bez opakování.
Vzorec pro výpočet počtu kombinací bez opakování je následující:
Ck n = n! / k!(n-k)!, kde n je počet prvků (lidí), k je počet vzorků (cest).
Vložíme hodnoty do vzorce: C2 6 = 6! / 2!(6-2)! = 6! / 2!4! = (6*5*4*3*2*1) / ((2*1)*(4*3*2*1)) = 15.
Existuje tedy 15 možností, jak rozdělit dvě cesty mezi šest lidí.
| Číslo kombinace | Zájezd 1 | Zájezd 2 |
|---|---|---|
| 1 | Alice | Robert |
| 2 | Alice | Karel |
| 3 | Alice | John |
| 4 | Alice | Mary |
| 5 | Robert | Karel |
| 6 | Robert | John |
| 7 | Robert | Mary |
| 8 | Karel | John |
| 9 | Karel | Mary |
| 10 | John | Mary |
| 11 | Robert | Alice |
| 12 | Karel | Alice |
| 13 | John | Alice |
| 14 | Mary | Alice |
| 15 | Karel | Robert |
Výpočet počtu možných variant
Abychom určili počet možných variant rozdělení dvou různých cest mezi šest lidí, můžeme použít kombinatoriku. Víme, že máme dvě cesty a šest lidí, mezi které je třeba se rozdělit.
Pro první kolo máme šest možných voleb, protože je může odevzdat některý ze šesti lidí. Poté máme pět možností pro druhou cestu, protože již nelze dát tomu, kdo již obdržel první cestu.
Abychom našli celkový počet možností, můžeme použít pravidlo součinu: vynásobit počet voleb pro první cestu počtem voleb pro druhou cestu. Celkový počet možností by tedy byl 6 * 5 = 30.
Existuje tedy 30 možných variant rozdělení dvou různých cest mezi šest lidí.