Rovnost bissectris je jednou ze základních vlastností rovných trojúhelníků, která nám pomáhá stanovit shodu mezi jejich stranami a úhly. Tato vlastnost nám říká, že ve dvou stejných trojúhelnících jsou bissektrické úhly tvořené příslušnými stranami stejné.
Abychom dokázali rovnost bissectris, musíme využít podobných trojúhelníků a znalostí rovnosti úhlů a úseků. Předpokládejme, že máme dva stejné trojúhelníky ABC a A'B ' C'. Jsou si rovni podle Podmínky, to znamená, že jejich strany a úhly jsou si rovny.
Podívejme se na vnitřní úhly trojúhelníků ABC a A' B' C' označené odpovídajícím způsobem jako úhly A, B, C a úhly A', B', C'. Také označíme bissektriky těchto úhlů jako BA1, BA2 a CA1, Ca2. Musíme dokázat, že bissektriky BA1 a CA1 se rovnají bissectrisům BA2 a CA2.
Rovnoprávnost bissectris ve stejných trojúhelnících
Stejné trojúhelníky mají řadu důležitých vlastností. Jedním z nich je, že pokud jsou dva trojúhelníky stejné, pak jsou jejich bissektriky také stejné.
Bissectris v trojúhelníku je segment, který rozděluje úhel trojúhelníku na polovinu a spojuje vrchol rohu s opačným úsekem strany.
Pro důkaz rovnosti bissectris ve stejných trojúhelnících můžeme využít vlastnosti rovných trojúhelníků a axiomu o rovnosti úhlů.
Předpokládejme, že máme dva stejné trojúhelníky ABC a DEF. Víme, že strany trojúhelníků jsou stejné: AB = DE, BC = EF a AC = DF.
Nechť se bissektrické úhly ABC a DEF protínají v bodě P.musíme ukázat, že úsečky AP a DP jsou stejné, to znamená, že bissektrické úhly rovných trojúhelníků jsou stejné.
Použijeme vlastnosti bissektriky a axiomu o rovnosti úhlů. Všimněte si, že úhly BAP a EDP jsou stejné, protože jsou polovičními úhly úhlů ABC a DEF. Také úhly ABP a EFP jsou stejné, protože jsou svislé úhly. Podobně jsou úhly CPB a FEP stejné.
Máme tedy odpovídající stejné úhly na příslušných stranách trojúhelníků, což znamená, že trojúhelníky ABP a DEF jsou stejné na AAS (úhel-úhel-strana).
Nyní můžeme použít vlastnost rovných trojúhelníků: pokud jsou dva trojúhelníky stejné, pak jsou jejich bissektriky také stejné. V důsledku toho jsou bissektriky úhlů ABC a DEF stejné, což bylo nutné prokázat.
Rovnocenné trojúhelníky mají tedy stejné bisektriky. Tato vlastnost může být použita k řešení různých problémů spojených s trojúhelníky.
Důkaz rovnosti bissectris
Předpokládejme, že máme dva stejné trojúhelníky ABC a DEF, jejich odpovídající bissektriky označíme jako BK a EL. Musíme dokázat, že tyto bissektriky jsou si rovny.
Pro důkaz této skutečnosti si připomeňme, že stejné trojúhelníky mají stejné strany a stejné úhly. Podívejme se na strany trojúhelníků ABC a DEF. Protože trojúhelníky jsou stejné, pak strana AB je rovna straně DE, strana AC je rovna straně DF a strana BC je rovna straně EF.
Nyní se podíváme na úhly trojúhelníků. Úhel B v trojúhelníku ABC bude roven úhlu E v trojúhelníku DEF, protože úhly protilehlé stejným stranám jsou také stejné ve stejných trojúhelnících.
Vidíme tedy, že v trojúhelnících ABC a DEF jsou příslušné strany a úhly stejné. Z toho lze usuzovat, že bissektriky BK a EL jsou si také rovny, protože rozdělují protilehlé strany trojúhelníků na dvě stejné části a protínají úhly při vrcholech trojúhelníků.
Tímto způsobem jsme prokázali rovnost bissectris ve stejných trojúhelnících. Tato vlastnost se používá v geometrii k řešení různých problémů spojených s trojúhelníky.