Vzájemně jednoduchými čísly říká se tomu čísla, která nemají společné dělitele kromě jedničky. Čísla 715 a 567 jsou přirozená čísla a patří mezi vzájemně prvočísla.
Pro důkaz tuto skutečnost vezmeme dvěma čísly a zkontrolujeme, zda nemají společné dělitele kromě jedničky. Rozdělíme obě čísla na prvočísla:
567 = 3 * 3 * 3 * 7
Z rozkladu je zřejmé, že čísla 715 a 567 nemají společné prvočísla, takže jsou vzájemně prvočísla. Lze si také všimnout, že největší společný dělitel těchto čísel je jedna, což také naznačuje jejich vzájemnou jednoduchost.
Tento fakt lze použít například při řešení problémů se zlomky. Pokud čitatel a jmenovatel zlomku jsou vzájemně prvočísla, pak se takový zlomek nazývá nedemokratický a nelze jej zjednodušit.
Co to znamená, že čísla jsou vzájemně jednoduchá?
Dvě čísla jsou považována za vzájemně jednoduchá, pokud je jejich největší společný dělitel 1. Jedná se o vlastnost, ve které dvě čísla nemají společné dělitele kromě 1.
Pro dvě čísla, jako je 715 a 567, je nutné najít jejich největší společný dělitel (NOD), aby se prokázalo, že jsou vzájemně prvočísla. Pokud je NOD 1, pak jsou čísla považována za vzájemně prvočísla, pokud je NOD větší než 1, pak čísla mají společné dělitele a nejsou vzájemně prvočísla.
Vzájemně prvočísla
V matematice pojem "vzájemně prvočísla" znamená, že dvě čísla nemají společné dělitele kromě 1.
Pro důkaz, že čísla 715 a 567 jsou vzájemně jednoduchá, je nutné zkontrolovat, zda mají společné dělitele jiné než 1. K tomu lze použít jednoduchý algoritmus:
| Násobitel | Číslo 715 | Číslo 567 |
|---|---|---|
| 1 | 715 | 567 |
| 3 | 238 | 189 |
| 7 | 34 | 27 |
| 17 | 2 | 3 |
Jak je vidět z tabulky, byly nalezeny společné dělitele čísel 715 a 567 (3 a 17), které nejsou stejné jako 1. Čísla 715 a 567 tedy nejsou vzájemně jednoduchá.
Co je NOD?
Pro výpočet NOD existuje několik metod. Jednou z nejjednodušších a nejběžnějších metod je Euclidova metoda. Je založen na následujícím principu: pokud jsou čísla a A b dělitelná číslem c beze zbytku, pak by se zbytek dělení a na b měl také dělit na c beze zbytku. Tento princip lze použít k sekvenčnímu nalezení NOD.
Vezměme si například čísla 715 a 567. K nalezení jejich NOD můžeme použít Euclidovu metodu následovně:
- Rozdělíme 715 na 567. Dostaneme zbytek 148.
- Rozdělíme 567 na 148. Dostaneme zbytek 83.
- Dělíme 148 na 83. Dostaneme zbytek 65.
- Dělíme 83 na 65. Dostaneme zbytek 18.
- Dělíme 65 na 18. Dostaneme zbytek 11.
- Rozdělíme 18 na 11. Dostaneme zbytek 7.
- Rozdělíme 11 na 7. Dostaneme zbytek 4.
- Rozdělíme 7 na 4. Dostaneme zbytek 3.
- Rozdělíme 4 na 3. Dostaneme zbytek 1.
- Rozdělíme 3 na 1. Dostaneme zbytek 0. Náš NoD je 1.
NOD čísel 715 a 567 je tedy 1. Z toho vyplývá, že čísla 715 a 567 jsou vzájemně jednoduchá.
Dokažte, že čísla 715 a 567 jsou vzájemně jednoduchá
K nalezení Nodu lze použít euklidův algoritmus.
Euklidův algoritmus spočívá v sekvenčním dělení většího čísla na menší, dokud nedosáhne nuly. V každém kroku se při dělení získá zbytek, který nahrazuje větší číslo.
Použijeme-li tento algoritmus na čísla 715 a 567, dostaneme následující kroky:
- 715 / 567 = 1 (zbytek 148)
- 567 / 148 = 3 (zbytek 123)
- 148 / 123 = 1 (zbytek 25)
- 123 / 25 = 4 (zbytek 23)
- 25 / 23 = 1 (zbytek 2)
- 23 / 2 = 11 (zbytek 1)
- 2 / 1 = 2 (zbytek 0)
Poslední nenulové číslo se rovná Nodu, tedy NOD (715, 567) = 1. To znamená, že čísla 715 a 567 jsou vzájemně jednoduchá.