Podstatou důkazu je ukázat, že jádro homomorfismu je normální podskupina původní skupiny. K tomu budeme potřebovat nějaké předběžné definice a fakta.
G A h skupiny a φ: G → H je homomorfismus mezi nimi. Jádro homomorfismu se nazývá množina k = g ∈ G, kde eH je neutrální prvek h.
Prvním faktem, který budeme potřebovat, je, že jádrem homomorfismu K je podskupina skupiny G. K tomu stačí ukázat, že K je uzavřeno vzhledem k operaci skupiny G, že element eG patří K a že reverzní prvek každého prvku K také patří k.
Dále, abychom ukázali normálnost jádra homomorfismu, musíme prokázat, že pro jakýkoli prvek g Z G a jakýkoli prvek k Z K, jako je k⁻1GK vlastněný G, vyplývá, že k⁻1GK také patří k.To by znamenalo, že jádro K je invariantní ohledně párování, což je definice normální podskupiny.
Vlastnosti jádra homomorfismu
Vlastnosti jádra homomorfismu zahrnují:
- Normalita: jádro homomorfismu je vždy normální podskupinou původní skupiny. To znamená, že je uzavřený vzhledem k operaci skupiny a obsahuje inverzní prvky původní skupiny.
- Identifikace: jádro homomorfismu umožňuje identifikovat různé prvky původní skupiny, které přecházejí do stejného prvku v cílové skupině.
- Monoidalita: jádro homomorfismu tvoří monoid, to znamená, že je uzavřeno vzhledem k operaci monoidu a obsahuje jednotkový prvek monoidu.
- Ideálnost: v případě, že homomorfismus je homomorfismus prstenců, jádro homomorfismu bude ideálem původního prstence, což mu umožňuje uvažovat v kontextu algebry.
Studium vlastností jádra homomorfismu je důležitou součástí algebry a umožňuje pochopit strukturu a vazby mezi různými algebraickými objekty.
Důkaz normálnosti
Aby bylo možné prokázat, že jádro homomorfismu je normální podskupina, je nutné zkontrolovat dvě podmínky:
| 1. Uzavřenost ohledně násobení: |
| Nechť a, B ∈ Ker(F). Musíme ukázat, že ab ∈ Ker(F). K tomu můžeme využít definici jádra homomorfismu a vlastností skupiny: |
| Protože a, B ∈ Ker(F), to F (a) = F (b) = e, kde e neutrální prvek ve skupině H. |
| Nyní zvážíme F (ab): |
| F (ab) = F (A) F(b) = ee = e. |
| Takovým způsobem, ab ∈ Ker(F), a jádro homomorfismu je uzavřeno vzhledem k násobení. |
| 2. Uzavřenost ohledně inverze: |
| Nechť a ∈ Ker(F). Musíme ukázat, že a -1 ∈ Ker (F). Používáme definici jádra homomorfismu: |
| Protože a ∈ Ker(F), to F (a) = e. |
| Nyní zvážíme F(A -1 ): |
| F(A -1) = F (A) -1 = e -1 = e. |
| Tedy, a -1 ∈ Ker (F), a jádro homomorfismu je uzavřeno s ohledem na inverzi. |
Ukázali jsme tedy, že jádro homomorfismu je normální podskupina skupiny G. Tento důkaz nám umožňuje hlouběji studovat vlastnosti homomorfismů a jejich vztah k normálním podskupinám.