Pravoúhlý trojúhelník je jedním ze základních geometrických tvarů, jejichž znalost se může hodit v každodenním životě nebo matematických výpočtech. Jedním ze způsobů, jak najít druhý trojúhelníkový katetr, je použití známého katetu a úhlu mezi nimi. Pokud je jeden z katetů známý a úhel mezi nimi je 45 stupňů, lze použít zvláštní poměr mezi katetami a přeponou.
K vyřešení tohoto problému použijeme trigonometrický poměr pro pravoúhlý trojúhelník. Úhel 45 stupňů je zvláštní, protože v takovém trojúhelníku jsou katety stejné a shodují se s přeponou. Pokud je délka jednoho z katetů známá, označíme ji jako a, pak délka druhého katetu bude a * √2.
Pro výpočet lze použít trigonometrické funkce sinus a kosinus, které podle toho určují poměr protilehlých a přilehlých katetů k přeponě. V tomto případě bude poměr následující: sin(45°) = a / C, kde C je přepona rovna a * √2. Po vyřešení této rovnice ohledně a najdeme hodnotu druhého katetu.
Druhý katetr pravoúhlého trojúhelníku: Hledání podle známých dat
K nalezení druhého katetu pravoúhlého trojúhelníku, pokud je znám jeden katetr a úhel 45 stupňů, lze použít trigonometrické Poměry.
Úhel 45 stupňů je zvláštní úhel v pravoúhlém trojúhelníku, protože při něm jsou hodnoty katetů stejné. Pokud je znám jeden katetr, můžete k nalezení druhého katetu použít funkci sinusu.
Vzorec pro nalezení druhého katetu má vzhled:
katetr = známý katetr * sin (45°)
V tomto případě, se známým úhlem 45 stupňů, bude sinus tohoto úhlu 1 / √2. Po vložení této hodnoty do vzorce získáme:
katet = známý katetr * (1 / √2)
Takže druhý katetr pravoúhlého trojúhelníku lze nalézt vynásobením známého katetu 1 / √2.
Výzva k nalezení druhého katetu
K vyřešení problému hledání druhého katetu pravoúhlého trojúhelníku za předpokladu známého jednoho katetu a úhlu 45 stupňů je nutné použít trigonometrie.
Je známo, že v pravoúhlém trojúhelníku je jeden z úhlů 90 stupňů, takže druhý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je 45 stupňů.
Nechť je jeden katetr tohoto úkolu roven a. Musíme najít druhý trojúhelníkový katetr.
Pomocí věty sinus můžeme zaznamenat:
kde a - slavný katetr,
c - přepona trojúhelníku.
S vědomím, že v pravoúhlém trojúhelníku je přepona √2x větší než jakýkoli katetr, můžeme zapsat:
Při řešení této rovnice získáme hodnotu druhého katetu trojúhelníku.
Pomocí trigonometrie a věty sinusů tedy můžeme vyřešit problém hledání druhého katetu pravoúhlého trojúhelníku za předpokladu známého jednoho katetu a úhlu 45 stupňů.
Známé údaje: jeden katetr a úhel 45 stupňů
Při řešení problému, kde je znám jeden katetr a úhel 45 stupňů, můžeme použít trigonometrické Poměry k nalezení druhého katetu.
Nechť je znám katetr a A úhel α = 45°.
Pomocí tangensova poměru trigonometrického trojúhelníku můžeme zaznamenat:
| Poměr | Formule | Výsledek |
|---|---|---|
| Tangens rohu α | tan(α) = a / x | x = a / tan(α) |
Chcete-li tedy najít druhý katetr trojúhelníku, je nutné rozdělit hodnotu známého katetu na úhel 45 stupňů tangence.
Například, pokud je známá kateta a = 5, pak:
x = a / tan(45°) = 5 / 1 = 5
Druhý katetr je tedy 5.
Geometrické vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku
Součet všech úhlů pravoúhlého trojúhelníku je 180 stupňů. Protože jeden z úhlů je 90 stupňů, součet dvou zbývajících úhlů je také 90 stupňů.
Také podle Pythagorovy věty se v pravoúhlém trojúhelníku čtverec délky přepony rovná součtu čtverců délek katetů. Pokud jsou známy délky dvou katetů, lze nalézt délku přepony, a pokud jsou známy délky přepony a jednoho z katetů, lze nalézt délku druhého katetu.
Pokud je znám jeden katetr a úhel při něm je 45 stupňů, lze použít trigonometrické funkce k nalezení délky druhého katetu. V tomto případě, pokud je známa délka jednoho katetu, lze nalézt délku druhého katetu vynásobením délky prvního katetu kořenem ze dvou.
| Délka prvního katetu | Délka druhého katetu |
|---|---|
| a | a√ √ 2 |
Aplikace trigonometrických funkcí pro řešení problému
K vyřešení problému hledání druhého katetu pravoúhlého trojúhelníku, pokud je znám jeden katetr a úhel 45 stupňů, se používají trigonometrické funkce sinus a kosinus.
Podle Pythagorovy věty se přepona čtverce rovná součtu čtverců katetů. Známý katetr lze tedy označit jako a a hledaný katetr jako B. přeponu označíme jako c.
Pro použití trigonometrie použijeme to, že sinus úhlu je roven poměru délky protilehlého katetu k přeponě, zatímco kosinus úhlu se rovná poměru délky podmětového katetu k přeponě.
Sinus úhlu 45 stupňů je tedy roven poměru b K c a kosinus úhlu 45 stupňů je roven poměru a K c.
Zvažte výraz pro sinus úhlu 45 stupňů: sin (45°) = b / c. protože sin(45°) = √2 / 2, dostaneme rovnici √2 / 2 = b / c, odkud lze najít b.
Zároveň, výraz pro kosinus úhlu 45 stupňů je cos(45°) = A / c. protože cos(45°) = √2 / 2, lze zapsat rovnici √2 / 2 = A / c, odkud lze najít a.
Vyřešením výsledných rovnic vzhledem k neznámým katetům tedy můžeme najít hodnotu druhého katetu a použít jej k vyřešení problému.
Vytvoření vzorce pro výpočet druhého katetu
Pro výpočet druhého katetu pravoúhlého trojúhelníku, pokud je znám jeden katetr a úhel 45 stupňů, lze použít trigonometrickou funkci tangens.
Nechť je znám jeden katetr a úhel mezi přeponou a datovým katétrem B rovný 45 stupňům.
Pak můžete použít vzorec:
| Tangens roh B: | Tangens 45 stupňů: |
| tg(B) = a / c | 1 |
Kde C je přepona trojúhelníku.
Pro nalezení druhého katetu lze přepsat vzorec vyjádřením c:
| Tangens roh B: | Tangens 45 stupňů: |
| tg(B) = a / c | 1 |
| c = a / tg(B) | c = a |
K nalezení druhého katetu tedy stačí oddělit známý katetr o úhlu 45 stupňů.