Pravoúhlé trojúhelníky s úhlem 45 stupňů mají svou zvláštnost: všechny tři strany jsou stejně dlouhé. To znamená, že pokud známe délku jedné strany, můžeme snadno najít délky ostatních dvou. Je to velmi užitečná znalost, zejména při řešení geometrických problémů. Pokud je například známa délka přepony (strany protilehlé přímému úhlu), pak lze délku katetů nalézt pomocí jednoduchého vzorce.
Vzorec pro nalezení délky katetrů pravoúhlého trojúhelníku s úhlem 45 stupňů je následující:
strana = délka přepony / √2
Příklad: Řekněme, že máme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém je přepona 10. Délky katetů můžeme snadno najít:
strana = 10 / √2 ≈ 7.07
Délka každého katetu by tedy byla asi 7,07 jednotky délky.
Vzorec pro nalezení stran trojúhelníku
Pro nalezení stran pravoúhlého trojúhelníku s úhlem 45 stupňů existuje speciální vzorec založený na Pythagorově větě:
1. Pokud je známá jedna strana trojúhelníku, lze druhou stranu nalézt pomocí vzorce:
- Strana a: a = c / sqrt(2), kde c je známá strana trojúhelníku.
- Strana b: b = c / sqrt(2), kde c je známá strana trojúhelníku.
2. Pokud je přepona trojúhelníku známá, pak lze pomocí vzorce najít další strany:
- Katetr a: a = c * sqrt (2), kde c je známá přepona trojúhelníku.
- Katetr b: b = c * sqrt (2), kde c je známá přepona trojúhelníku.
Pokud tedy znáte jednu ze stran trojúhelníku nebo jeho přeponu, můžete snadno najít všechny ostatní strany.
Příklady nalezení stran trojúhelníku s následujícími podmínkami:
Příklad 1:
Tento obdélníkový trojúhelník s úhlem 45 stupňů:
Úhel A = 45 stupňů
Najít strany trojúhelníku:
Řešení:
Úhel A = 45 stupňů a obdélníkový trojúhelník má dva stejné úhly. Znamená, úhel B = 45 stupňů.
Součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, takže úhel C = 180 - 45 - 45 = 90 stupňů.
Trojúhelník ABC je tedy obdélníkový s úhly 45 stupňů, 45 stupňů a 90 stupňů.
Podle definice pravoúhlého trojúhelníku se strany tvořící pravý úhel nazývají přepona a katety.
V tomto případě je strana AB přeponou a strany AC a BC jsou katety.
Chcete-li najít hodnoty stran AB A AC, můžete použít Pythagorovu větu:
Vzhledem k tomu, že úhel C je 90 stupňů, bude strana BC rovna hodnotě jednoho z katetů. BC = a.
Pak AB^2 = AC^2 + a^2.
Pokud známe hodnotu jedné ze stran, můžeme pomocí této rovnice najít hodnotu druhé strany.
Příklad 2:
Tento obdélníkový trojúhelník s úhlem 45 stupňů:
Úhel A = 45 stupňů
Je známo, že strana AC = 10 cm.
Najít strany trojúhelníku:
Řešení:
Úhel A = 45 stupňů a obdélníkový trojúhelník má dva stejné úhly. Znamená, úhel B = 45 stupňů.
Součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, takže úhel C = 180 - 45 - 45 = 90 stupňů.
Trojúhelník ABC je tedy obdélníkový s úhly 45 stupňů, 45 stupňů a 90 stupňů.
Je známo, že strana AC = 10 cm.podle definice pravoúhlého trojúhelníku je strana AC katétrem.
Chcete-li najít hodnotu strany AB, můžete použít Pythagorovu větu:
Vzhledem k tomu, že úhel C je 90 stupňů, bude strana BC rovna hodnotě druhého katetu. BC = b.
Pak AB^2 = 10^2 + b^2.
Pokud známe hodnotu jedné ze stran, můžeme pomocí této rovnice najít hodnotu druhé strany.
Příklad 1: Najděte strany trojúhelníku, pokud je známa přepona a jeden katetr
Pomocí Pythagorovy věty můžeme najít délku druhého katetu:
AC 2 = AB 2 - BC 2
AC 2 = 10 2 - 6 2
AC 2 = 100 - 36
AC 2 = 64
AC = √64 = 8
Délka druhého katetu AC je tedy 8 cm.
Abychom našli obvod trojúhelníku ABC, musíme složit délky všech jeho stran:
Obvod = AB + BC + AC
OBVOD = 10 + 6 + 8
Obvod = 24 cm
V tomto příkladu je tedy délka druhého katetu AC 8 cm a obvod trojúhelníku ABC je 24 cm.
Příklad 2: Najděte strany trojúhelníku, pokud jsou známy dva katety
V tomto příkladu se podíváme na případ, kdy jsou známy hodnoty dvou katetrů pravoúhlého trojúhelníku. K nalezení délky přepony a dalších stran použijeme Pythagorovu větu.
- Délka prvního katetu (a) = 5
- Délka druhého katetu (b) = 7
Pomocí vzorce Pythagorovy věty (a^2 + b^2 = c^2), kde c - délka přepony, můžeme vypočítat:
Dále najít délku přepony (c), musíme vzít druhou odmocninu z hodnoty c^2:
V příkladu 2 tedy délka přepony (c) obdélníkový trojúhelník je přibližně 8.602.