Přejít na hlavní obsah

Důkaz paralelogramu ABCD-abcd rovnoběžníků

Paralelogram ABCD je jednou z nejznámějších postav v geometrii. Tento obrazec má mnoho zajímavých vlastností a vazeb, které umožňují různé geometrické důkazy. V tomto článku se podíváme na jeden takový důkaz - důkaz paralelogramu ABCD.

Úkolem důkazu rovnoběžníku ABCD je ukázat, že čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník. K tomu je třeba ukázat, že protilehlé strany jsou rovnoběžné a rovné a že opačné úhly jsou stejné. Tento důkaz je založen na použití vlastností paralelních přímek a úhlů.

Nejprve se podíváme na paralelní přímky AB a CD. Podle vlastností rovnoběžných přímek bude úhel ADC roven úhlu CBA a úhel BAC bude roven úhlu DCA. Protilehlé úhly rovnoběžníku ABCD jsou tedy stejné.

Dále přejdeme kolmicí AD k přímce BC. Vzhledem k tomu, že rovnoběžné přímky odpovídají stejným úhlům, bude úhel ADB roven úhlu BCA. Stejně tak úhel CDA bude roven úhlu DAB. Protože součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, pak úhel ADB + BCA + CDA = 180°. Ale úhly ADB a CDA jsou stejné, tedy úhel BCA = úhel BDA. Takže úhly BDA a CBA jsou také stejné.

Z rovnosti úhlů BDA a CBA vyplývá, že přímka BC je rovnoběžná s přímkou AD. Také podle vlastnosti rovnoběžných přímek jsou protilehlé strany rovnoběžníku stejné. Tímto způsobem jsme dokázali, že postava ABCD je rovnoběžník.

Provedli jsme tedy důkaz rovnoběžníku ABCD pomocí vlastností rovnoběžných přímek, úhlů a protilehlých stran. Tento důkaz umožňuje ověřit, že daný obrazec je rovnoběžník a tuto vlastnost použít při dalším řešení geometrických problémů.

Důkaz paralelogramu ABCD

  1. Opačné strany jsou rovnoběžné
  2. Opačné strany jsou si rovny
  3. Opačné úhly jsou stejné

1. Opačné strany jsou rovnoběžné:

K tomu lze použít geometrické metody, jako jsou měření úhlů a stran pomocí nástrojů nebo použití speciálních vzorců.

2. Opačné strany jsou si rovny:

K ověření rovnosti stran lze použít měřicí nástroje, jako je pravítko nebo měření délky. Je třeba změřit každou stranu rovnoběžníku a porovnat jejich hodnoty.

3. Opačné úhly jsou stejné:

Pro důkaz rovnosti úhlů lze použít geometrické metody, jako je měření úhlů pomocí transportéru nebo použití geometrických vlastností tvaru.

Podmínka úkolu

Je třeba ukázat, že rovnoběžníky ABCD a AKNM jsou podobné.

K tomu je třeba:

  1. Dokázat, že úhly BCD a BAN jsou stejné.
  2. Dokázat, že úhly BDC a BKN jsou stejné.
  3. Dokázat, že úhel ADC se rovná úhlu ANK.
  4. Ze získaných výsledků vyplývá, že paralelogramy ABCD a AKNM jsou podobné koeficientu k=1/2.

První důkaz

  1. Vlastnost 1: Protilehlé strany rovnoběžníku se rovnají délce, tj. AB = CD a BC = DA.
  2. Vlastnost 2: Protilehlé úhly rovnoběžníku jsou mezi sebou stejné, to znamená ∠A = ∠C a ∠B = ∠D.
  3. Vlastnost 3: Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu, tedy AC = BD.
  1. Schválení 1: Strany AB a CD jsou rovnoběžné, protože jsou si navzájem rovny vlastností 1.
  2. Schválení 2: Strany BC a DA jsou rovnoběžné, protože jsou si navzájem rovny vlastností 1.
  3. Schválení 3: Úhly A A C rovnoběžných stran AB a CD jsou stejné, protože jsou si rovny vlastností 2.
  4. Schválení 4: Úhly B A D rovnoběžných stran BC a DA jsou stejné, protože jsou si rovny vlastností 2.
  5. Schválení 5: Úhlopříčky AC a BD jsou rovnoběžné, protože se navzájem rovnají vlastnostem 3.

Paralelogramy ABCD a abcd jsou tedy prokazatelně paralelní.

Druhý důkaz

Druhý důkaz je založen na vlastnostech rovnoběžných přímek a vlastnostech úhlů sestavených přímkami a trasami.

Aby bylo možné prokázat, že paralelogram ABCD je rovnoběžník abcd, je třeba prokázat následující tvrzení:

  1. Přímka AB je rovnoběžná s přímým CD.
  2. Přímka BC je rovnoběžná s přímkou AD.
  3. Přímý AC je paralelogramový Tracker.
  4. Přímá BD je paralelogramová dráha.

K prokázání prvního tvrzení lze použít vlastnosti paralelních přímek. Pokud nejsou AB a CD rovnoběžné, protínají se v bodě E. Podle axiomu rovnoběžnosti však rovnoběžné přímky v rovině nemohou mít společné body. AB a CD by tedy měly být paralelní.

K prokázání druhého tvrzení lze použít podobné úvahy. Pokud BC a AD nejsou rovnoběžné, pak se protínají v bodě F. Podle axiomu rovnoběžnosti však rovnoběžné přímky v rovině nemohou mít společné body. BC a AD by tedy měly být paralelní.

Pro důkaz třetího tvrzení lze použít vlastnosti paralelogramových traserů. Paralelogram tracers se nazývá přímka, která spojuje dva vrcholy, které nejsou sousedními. V tomto případě je paralelogram ABCD rovný AC. Pro důkaz stačí ukázat, že AC překračuje BD. Za předpokladu, že AC a BD se nepřekrývají, bude to znamenat, že AC a BD jsou rovnoběžné, což znamená, že rovnoběžníky ABCD a abcd budou obsahovat protínající se rovnoběžné přímky, což je v rozporu s definicí rovnoběžníku.

Důkaz čtvrtého tvrzení se provádí podobným způsobem, který ukazuje, že BD překračuje AC.

Čtěte také