Rovnice dynamiky jsou to základní zákony popisující pohyb hmotných bodů nebo soustavy částic. Tyto rovnice, vyvinuté Isaacem Newtonem v 17.století, tvořily základ klasické mechaniky a patří mezi nejdůležitější rovnice ve fyzice.
Základní rovnice dynamiky zahrnují Newtonovy zákony o pohybu a interakci sil. První zákon, neboli zákon setrvačnosti, tvrdí, že tělo je nadále v klidu nebo se rovnoměrně přímočaře pohybuje, dokud na něj nepůsobí vnější síla. Druhý zákon, neboli zákon o síle a zrychlení, stanoví přímou proporcionalitu mezi tělesnou hmotností, její akcelerací a silou, která na ni působí. Třetí zákon, neboli zákon interakce, říká, že na každou akci existuje stejná a opačná opozice.
Příklady aplikací rovnic dynamiky lze nalézt v mnoha oblastech fyziky a inženýrství. Například pro analýzu pohybu vozidla, dopadu gravitace na padající předměty, výpočet trajektorie rakety nebo satelitu ve vesmíru atd. Rovnice dynamiky mají také široké uplatnění v mechanice pevných látek, dynamice tekutin, elektromagnetismu a dalších oblastech vědy.
Pochopení základních rovnic dynamiky umožňuje vědcům a inženýrům přesněji modelovat a předpovídat fyzikální jevy a je nezbytným nástrojem v různých vědeckých a technických studiích.
Newtonova rovnice třetího zákona
Newtonova rovnice třetího zákona popisuje interakci dvou těles a je vyjádřena následovně:
Účinek (síla), který má jedno těleso na druhé, se rovná modulu, ale je opačný ke směru síly, kterou má druhé těleso na první.
To znamená, že pokud tělo a působí na tělo B silou F, pak tělo B působí na tělo a účinek silou je F.
Tuto rovnici lze zapsat následovně:
kde FAB - síla, kterou má tělo a na tělo B,
FBA - síla, kterou má tělo B na tělo a.
Newtonova rovnice třetího zákona platí pro všechny druhy interakcí, včetně gravitace, elektromagnetismu a tlaku plynu.
Příklady a vysvětlení
Příklad 1:
Zvažte pohyb těla o hmotnosti 2 kg zavěšeného na 1 metr dlouhém niti. Při úhlu 45 stupňů odchylky nitě a bez tření najdeme zrychlení těla a sílu napětí nitě.
K vyřešení problému použijeme rovnici dynamiky:
ΣF - součet všech sil působících na tělo,
a - zrychlení těla.
V tomto případě je silou působící na tělo gravitace, která směřuje vertikálně dolů a rovná se:
g - zrychlení volného pádu (přibližně přijímáme g 9,8 m / s 2).
Úhel mezi nití a vertikálou je 45 stupňů. Rozložíme gravitační sílu na dvě složky-horizontálně a vertikálně:
Síla napětí nitě se rovná součtu síly působící na vektor horizontály a síly působící na vektor vertikály:
Určíme zrychlení těla:
Příklad 2:
Vezměme těleso o hmotnosti 1 kg pohybující se po vodorovném povrchu třením. Aplikovaná síla je 10 N. najdeme zrychlení tělesa a koeficient tření mezi tělesem a povrchem.
K vyřešení problému použijeme rovnici dynamiky:
Součtem všech sil působících na tělo je aplikovaná síla a třecí síla, která je zaměřena proti pohybu těla:
Rovnice může být zapsána ve formě:
K určení koeficientu tření použijeme druhou rovnici spojující třecí sílu a normální reakci povrchem:
μ - koeficient tření,
N - normální povrchová reakce.
Výraz pro zrychlení:
Určíme normální reakci povrchu:
F - μ * m * g = m * a
Rozložíme součet sil na složky. První složkou je aplikovaná síla směřující vodorovně:
Druhou složkou je třecí síla rovnající se následující:
Zrychlení těla se rovná:
Rovnice druhého Newtonova zákona
Rovnice lze zapsat následovně:
- F-síla působící na tělo (v Newtonech)
- m-tělesná hmotnost (v kilogramech)
- a-zrychlení tělesa (v metrech za sekundu na druhou)
V této rovnici se síla rovná součinu tělesné hmotnosti jeho zrychlení. Pokud je tělesná hmotnost měřena v kilogramech a zrychlení v metrech za sekundu na druhou, síla bude mít velikost v Newtonech.
Tato rovnice se používá k řešení různých problémů souvisejících s pohybem těla. Může být například použit k určení třecí síly působící na tělo nebo k určení síly, se kterou tělo působí na jiné těleso, které s ním interaguje.
Příklady a vysvětlení
1. Zákon setrvačnosti: každé tělo zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí vnější síly. Tuto rovnici lze představit následovně:
Součet všech sil působících na tělo je nulový.
2. Rovnice druhého Newtonova zákona: síla působící na těleso se rovná součinu jeho hmotnosti na zrychlení. Vzorec vypadá takto:
Síla = hmotnost × zrychlení
3. Newtonův třetí zákon: na každou akci existuje stejná a opačná reakční akce ve směru. Tuto rovnici lze formulovat takto:
Síla A, která působí na objekt B, je velikost a je opačná vůči směru síly B působící na objekt a.
4. Zákon zachování hybnosti: součet Pulzů dvou interagujících těles zůstává konstantní. Vzorec pro výpočet pulsu vypadá takto:
Hybnost = hmotnost × rychlost
5. Zákon zachování energie: energie, která produkuje práci nebo má mechanickou hodnotu, je zachována. Tuto rovnici lze představit v následující podobě:
Práce + potenciální energie + kinetická energie = konstanta
Základní rovnice dynamiky tedy umožňují určit a vysvětlit interakce těles v mechanice a použít je k řešení problémů s dynamikou.
Rovnice Newtonova prvního zákona
Newtonův první zákon, také známý jako setrvačný zákon, stanoví, že objekty jsou v klidu nebo konstantní přímočarý pohyb, dokud na ně nepůsobí síly.
Rovnice Newtonova prvního zákona lze zapsat následovně:
∑F = 0
kde ∑F představuje celkovou sílu působící na objekt a 0 znamená nedostatek zrychlení. Formálně to znamená, že pokud je součet všech sil působících na objekt nulový, pak bude objekt v klidu nebo se bude pohybovat konstantní rychlostí v přímce.
Newtonova rovnice prvního zákona je základním principem klasické mechaniky a umožňuje předpovídat pohyb objektů bez vnějších vlivů.
Příklad: Pokud je tělo na hladkém vodorovném povrchu bez tření, bude v klidu nebo se bude pohybovat rovnoměrně a přímočaře, protože na něj nepůsobí horizontální síly. V tomto případě, ∑F = 0.
Příklady a vysvětlení
Níže je několik příkladů, které vám pomohou lépe porozumět základním rovnicím dynamiky:
Příklad 1:
Ať máme náklad o hmotnosti 2 kg, který se pohybuje po vodorovné ploše bez tření. Chceme najít jeho zrychlení při síle, která na něj působí 10 N.
Pomocí druhého Newtonova zákona můžeme zapsat rovnici:
kde F je síla, m je hmotnost nákladu, a je zrychlení.
Vložením známých hodnot do rovnice získáme:
Obě části rovnice dělíme 2 kg:
Zrychlení nákladu je tedy 5 m / s2.
Příklad 2:
Vezměme si náklad o hmotnosti 5 kg, který je na šikmé ploše pod úhlem 30 stupňů. Chceme najít třecí sílu působící na náklad, pokud je jeho zrychlení 2 m/s2.
V tomto případě můžeme použít první Newtonův zákon:
kde je součet všech sil působících na náklad.
Na náklad působí následující síly: gravitace (m * g) dolů ve směru náklonu a třecí síla (FTR) nahoru ve směru náklonu.
Gravitační sílu můžeme rozložit na dvě složky: ve směru sklonu (mg * sinθ) a kolmo ke sklonu (mg * cosθ).
Rovnice tedy bude vypadat následovně:
FTR-mg * sinθ = m * a
Dosazením známých hodnot (m = 5 kg, a = 2 m/ s2, θ = 30°, g = 9,8 m/s2) získáme:
FTR - 5 kg * 9,8 m / s2 * sin30° = 5 kg * 2 m/s2
Vypočítáme hodnotu sin30°:
FTR-5 kg * 9,8 m/s2 * 0,5 = 10 N
Obě části rovnice vydělíme 5 kg * 0,5:
FTR = 10 N + 24,5 N
Třecí síla působící na náklad je tedy 34,5 N.