Trojúhelníkové, čtyřúhelníkové a pětihranné hranoly - jsou to trojrozměrné geometrické tvary, které se skládají ze dvou sousedních polygonálních bází a rovných žeber, které spojují tyto základny. Kromě žeber však hranoly obsahují také diagonály-čáry, které spojují vrcholy mnohoúhelníkových bází, které nejsou vhodné pro žebra.
Mezi všemi úhlopříčkami, které jsou přítomny v trojúhelníkovém, čtyřúhelníkovém a pětihranném hranolu, je obvykle věnována zvláštní pozornost počet úhlopříček. Úhlopříčky jsou důležitými prvky hranolu, protože nám umožňují lépe porozumět jeho struktuře a vlastnostem. Počet úhlopříček může být také užitečný při řešení problémů dynamické geometrie a dalších souvisejících oblastí.
Začněme od trojúhelníkového hranolu. U trojúhelníkového hranolu je každá ze dvou bází trojúhelníkem, který má tři vrcholy. Abychom vypočítali počet úhlopříček, musíme spojit každý vrchol jedné základny s každým vrcholem druhé základny tak, aby se čáry nepřekrývaly uvnitř hranolu. V trojúhelníkovém hranolu se třemi vrcholy na každé základně dostaneme 3 úhlopříčky.
Trojúhelníkový hranol
Chcete-li určit počet úhlopříček u trojúhelníkového hranolu, musíte znát počet vrcholů trojúhelníku základny a počet vrcholů jiného trojúhelníku, které jsou spojeny diagonálami. Trojúhelník má 3 vrcholy a druhá základna trojúhelníkového hranolu je také trojúhelník a má 3 vrcholy.
Vzorec pro stanovení počtu úhlopříček u trojúhelníkového hranolu:
Úhlopříčky = (počet vrcholů základny trojúhelníku) x (počet vrcholů druhé základny trojúhelníkového hranolu)
Úhlopříčka = 3 x 3 = 9
Trojúhelníkový hranol má tedy 9 úhlopříček.
Čtyřúhelníkový hranol
Pro určení počtu úhlopříček u čtyřúhelníkového hranolu je třeba vzít v úvahu, že každá základna (čtyřúhelník) má šest úhlopříček. Celkový počet úhlopříček se tedy rovná součtu úhlopříček každé základny Plus úhlopříček, které spojují odpovídající vrcholy bází.
Podívejme se blíže na počet úhlopříček pro každou základnu:
Čtyřúhelník má šest úhlopříček. Úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu se nepřekrývají. Pro každý vrchol hrany základny jsou tři úhlopříčky, které ji spojují s jinými vrcholy. Pro každou základnu je tedy k dispozici 3 * 4 = 12 úhlopříček.
Počet úhlopříček spojujících příslušné vrcholy bází:
Čtyřúhelníkový hranol má na každé základně čtyři vrcholy. Chcete-li spojit vrcholy jedné základny s vrcholy druhé základny, musíte nakreslit hrany, které spojují příslušné vrcholy. Počet těchto hran se rovná počtu vrcholů, tj. Celkový počet úhlopříček, které spojují příslušné vrcholy bází, je tedy 4.
Součtem počtu úhlopříček každé základny a počtu úhlopříček, které spojují vrcholy bází, získáme celkový počet úhlopříček čtyřúhelníkového hranolu:
Počet úhlopříček = 12 (úhlopříčky na každé základně) + 4 (úhlopříčky spojující vrcholy bází) = 16.
Pětiúhelníkový hranol
Pětiúhelníkový hranol je správný nebo nesprávný, v závislosti na shodě jeho ploch a žeber. Ve správném pětihranném hranolu jsou všechny boční plochy stejné a vrcholy bočních ploch jsou na stejné čáře. Kromě toho může být pětiúhelníkový hranol obdélníkový nebo nepřímý, v závislosti na úhlu mezi bočními plochami a rovinou základny.
Chcete-li určit počet úhlopříček u pětihranného hranolu, musíte znát počet hran a počet vrcholů. Pětiúhelníkový hranol má 10 hran a 7 vrcholů.
Každá úhlopříčka pětiúhelníkového hranolu spojuje dva nepřerušitelné vrcholy, které nejsou sousední. V pětiúhelníkovém hranolu, který má 7 vrcholů, je možné 5 možných spojení vrcholů, které odpovídají úhlopříčkám:
1. Úhlopříčka spojující první vrchol se třetím.
2. Úhlopříčka spojující druhý vrchol se čtvrtým.
3. Úhlopříčka spojující třetí vrchol s pátým.
4. Úhlopříčka spojující čtvrtý vrchol se šestým.
5. Úhlopříčka spojující pátý vrchol se sedmým.
Pětiúhelníkový hranol má tedy 5 úhlopříček.
Jak zjistit počet úhlopříček
U trojúhelníkového hranolu lze počet úhlopříček nalézt pomocí vzorce D = n (n − 3)/2, kde D je počet úhlopříček, n je počet vrcholů trojúhelníku. Trojúhelníkový hranol se třemi vrcholy tedy může mít pouze jednu úhlopříčku.
U čtyřúhelníkového hranolu lze počet úhlopříček vypočítat podle vzorce D = n (n − 4)/2, kde D je počet úhlopříček, n je počet vrcholů čtyřúhelníku. Čtyřúhelníkový hranol se čtyřmi vrcholy tedy může mít dvě úhlopříčky.
U pětiúhelníkového hranolu lze počet úhlopříček nalézt pomocí vzorce D = n (n − 5)/2, kde D je počet úhlopříček, n je počet vrcholů pětiúhelníku. Pětiúhelníkový hranol s pěti vrcholy tak může mít pět úhlopříček.
Výpočet počtu úhlopříček pro složitější hranoly vyžaduje použití podobných vzorců, které jsou založeny na počtu vrcholů tvaru.
Počet úhlopříček u hranolů různého typu:
Trojúhelníkový hranol:
- Trojúhelníkový hranol má tři základny a každá základna se skládá ze tří vrcholů.
- Mezi každým ze tří vrcholů jedné základny a každým ze tří vrcholů druhé základny se provádí jedna úhlopříčka.
- Trojúhelníkový hranol má tedy pouze 9 úhlopříček.
Čtyřúhelníkový hranol:
- Čtyřúhelníkový hranol má dvě základny, které se skládají ze čtyř vrcholů.
- Mezi každým ze čtyř vrcholů jedné základny a každým ze čtyř vrcholů druhé základny se provádí jedna úhlopříčka.
- Probíhají také diagonály spojující vrcholy sousedních bází.
- Čtyřúhelníkový hranol má pouze 16 úhlopříček.
Pětiúhelníkový hranol:
- Pětiúhelníkový hranol má dvě základny, které se skládají z pěti vrcholů.
- Mezi každým z pěti vrcholů jedné základny a každým z pěti vrcholů druhé základny se provádí jedna úhlopříčka.
- Probíhají také diagonály spojující vrcholy sousedních bází.
- Pětiúhelníkový hranol má pouze 25 úhlopříček.
Počet úhlopříček v hranolu tedy závisí na počtu vrcholů u bází a počtu vrcholů v každé základně.