Vzájemná jednoduchost dvou čísel je důležitým pojmem v teorii čísel. Dvě čísla jsou považována za vzájemně jednoduchá, pokud se jejich největší společný dělitel (NOD) rovná jedné. V tomto článku se podíváme na důkaz vzájemné jednoduchosti čísel 272 a 1356.
Pro začátek si připomeňme některé základní vlastnosti NOD. Pokud se NOD dvou čísel rovná jedné, pak můžeme tvrdit, že tato čísla jsou vzájemně jednoduchá. Pokud je NOD dvou čísel větší než jedna, pak to znamená, že tato čísla mají společné dělitele kromě jedničky.
Podívejme se na dvě čísla: 272 a 1356. Abychom dokázali jejich vzájemnou jednoduchost, musíme najít jejich NOD. Existuje několik metod pro nalezení NOD, ale použijeme euklidovu metodu.
Malá farma věta
Formulace Fermatovy malé věty zní takto:
Pokud je P prvočíslo a a celé číslo, které není dělitelné p, pak a na stupni p – 1 se rovná zůstatku 1 při dělení p.
To znamená, že pokud je P prvočíslo a a celé číslo, které není dělitelné p, pak (a^(p – 1)) mod p = 1, kde ^ označuje vztažnost na stupeň, mod označuje operaci zbytku dělení.
Fermatova malá věta má důležitou praktickou aplikaci v kryptografii, zejména v šifrovacích algoritmech, kde se používá k testování jednoduchosti čísel a generování velkých prvočísel.
Rozdělení čísel na prvočísla
Chcete-li rozložit číslo na prvočísla, musíte číslo postupně dělit prvočísly, počínaje nejmenším, dokud se číslo nestane jednotkou. Prvočísla, která jsou dělena, se hromadí a tvoří rozklad čísla na prvočísla.
Chcete-li například rozložit číslo 272 na prvočísla, měli byste začít dělením nejmenším prvočíslem 2. Dále je číslo 136 děleno 2 beze zbytku a získává faktor 2. Výsledek dělení 68 je pak také dělitelný 2, a tak dále, dokud se číslo nebude rovnat 17. Rozklad čísla 272 tedy bude vypadat následovně: 2 * 2 * 2 * 2 * 17.
Stejně tak je možné rozložit číslo 1356 na prvočísla, počínaje dělením nejmenším prvočíslem. V tomto případě dostaneme rozklad 1356 na faktory: 2 * 2 * 3 * 113..
Důkaz nedostatku společných faktorů
Společné faktory jsou prvočísla, na která lze obě rozdělit beze zbytku.
Začněme faktorizací čísel:
- 272 = 2 × 2 × 2 × 2 × 17
- 1356 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
Vidíme, že obě čísla obsahují stejné faktory 2 a 3.
272 a 1356 tedy nejsou vzájemně prvočísla, protože mají společné faktory 2 a 3.
Takže jsme dokázali, že čísla 272 a 1356 nejsou vzájemně jednoduchá.
Poměr čísel a vzájemná jednoduchost
Poměr čísel v matematice má zvláštní význam, zvláště pokud jde o vzájemnou jednoduchost. Reciproční čísla se nazývají čísla, která nemají společné dělitele kromě jedničky. Vzájemně prvočísla mají řadu zajímavých vlastností a jsou široce používána v různých oblastech.
Pro důkaz vzájemné jednoduchosti dvou čísel lze použít Euklidův algoritmus. Tento algoritmus umožňuje najít největší společný dělitel dvou čísel, a pokud je tento největší společný dělitel roven jedné, pak jsou čísla vzájemně jednoduchá.
Pro důkaz vzájemné jednoduchosti čísel 272 a 1356 je nutné najít jejich největší společný dělitel. Rozdělením čísel na prvočísla získáme:
- 272 = 2 4 * 17
- 1356 = 2 2 * 339 = 2 2 * 3 * 113
Podle Euklidova algoritmu lze najít největší společný dělitel: 272 mod 1356 = 272 - 6 * 1356 = -816. Když algoritmus použijeme, získáme:
- 1356 mod -816 = 540
- -816 mod 540 = -276
- 540 mod -276 = -252
- -276 mod -252 = -24
- -252 mod -24 = 0
Největší společný dělitel čísel 272 a 1356 je tedy 24. Protože se nerovná jedné, čísla 272 a 1356 nejsou vzájemně jednoduchá.