Trojúhelník - je to jeden z nejzákladnějších a nejvíce studovaných tvarů v geometrii. Má tři strany, které tvoří jeho hlavní vlastnosti a vlastnosti. Existují různé úkoly související s trojúhelníky, na které se studenti při studiu matematiky nutně setkávají. Jedním z takových úkolů je úkol o stranách trojúhelníku a aritmetické progresi.
V aritmetické progresi se každý další člen rovná předchozímu, zvýšenému o konstantní číslo nazývané rozdíl. Pokud tuto definici použijeme na strany trojúhelníku, můžeme předpokládat, že každá strana trojúhelníku může být vyjádřena rozdílem aritmetické progrese.
Abychom dokázali, že strany trojúhelníku tvoří aritmetickou progresi, musíme ověřit, zda je splněna podmínka, že součet dvou menších stran je roven třetí straně. Pokud je tato podmínka splněna, pak lze tvrdit, že strany trojúhelníku tvoří aritmetickou progresi.
Dokažte, že strany trojúhelníku tvoří aritmetickou progresi
Pro důkaz, že strany trojúhelníku tvoří aritmetickou progresi, je nutné zkontrolovat splnění dvou podmínek:
- Vztah mezi délkami stran trojúhelníku.
- Splnění aritmetického postupu.
První podmínka předpokládá, že délky stran trojúhelníku jsou kladné a nejsou si rovny, jinak trojúhelník neexistuje.
Druhá podmínka znamená, že rozdíl mezi délkami sousedních stran trojúhelníku musí být konstantní.
Pro důkaz lze použít následující logiku:
- Nechť a, b A c jsou délky stran trojúhelníku.
- Předpokládejme, že a, b A c tvoří aritmetickou progresi.
- Pak bude rozdíl mezi sousedními stranami stejný.
Řekněme, že rozdíl mezi a A b je D.
Řekněme, že rozdíl mezi b A c je také D.
Pokud nahradíme b v první rovnosti, dostaneme:
a = (c - d) - d = c - 2d.
Takže dostaneme, že A = c-2D.
Takže rozdíl mezi a A C je 2D.
Rozdíly mezi všemi třemi páry sousedních stran trojúhelníku jsou tedy stejné a stejné-2d.
Úloha trojúhelníku se stranami v aritmetické progresi
Pro vyřešení tohoto problému zvažte trojúhelník se stranami a, b A c, které tvoří aritmetickou progresi. Pomocí vlastností aritmetické progrese můžeme napsat, že b = a + d A c = a + 2D, kde d je rozdíl aritmetické progrese.
Pro důkaz rovnosti délek stran trojúhelníku použijeme Pythagorovu větu. Jako příklad vezměme stranu a: podle Pythagorovy věty a^2 = b^2 + C^2. Když dosadíme hodnoty b A c z výše uvedených výrazů, dostaneme: a^2 = (a + d)^2 + (a + 2D)^2.
Rozložením čtverců a uvedením podobných sloučenin dostaneme následující rovnici: a^2 = a^2 + 2ad + D^2 + a^2 + 4AD + 2D^2. Zkratkou a^2 na obou stranách dostaneme následující rovnici: 0 = 6AD + 3D^2. Rovnost 0 = 6AD + 3D^2 platí pouze za předpokladu, že d = 0 nebo d = -2a/3.
Pokud je d = 0, pak se degenerátový trojúhelník stane degenerovaným a není rovnoramenným trojúhelníkem. Podívejme se tedy na případ d = -2a/3. Když vložíme tuto hodnotu d do výrazů pro b A c, dostaneme: b = A - 2a/3 = a/3 A C = a - 4a/3 = -a/3.
Tímto způsobem se ukazuje, že délky stran trojúhelníku a, b A c jsou a, a/3 A-a/3. Z těchto hodnot je vidět, že strana b je rovna straně a/3 a strana c je rovna-a/3. Tato hodnota strany je nepřípustná, protože délka strany nemůže být záporná. Za předpokladu aritmetické progrese se tedy strany trojúhelníku nemohou rovnat.
Je tedy prokázáno, že při tvorbě délek stran trojúhelníku aritmetické progrese nemůže být trojúhelník rovnoramenný.
Prokázat rovnost stran trojúhelníku v aritmetické progresi
Aby bylo možné prokázat, že strany trojúhelníku tvoří aritmetickou progresi, je nutné zkontrolovat splnění podmínek tohoto postupu pro všechny strany.
- Nechť jsou strany trojúhelníku označeny jako a, b A c.
- Pokud strany vytvoří aritmetickou progresi, pak bude rozdíl mezi oběma sousedními stranami konstantní a rovný d.
- Pak lze zapsat následující rovnosti: a + d = b a b + d = c.
- Nyní je třeba zkontrolovat, zda jsou tyto rovnosti prováděny pro dané strany a, b A c.
- Když znáte hodnoty stran, můžete je nastrčit do rovnic a zkontrolovat rovnosti.
- Strany trojúhelníku tedy mohou tvořit aritmetickou progresi, pokud jsou prováděny rovnice a + d = b a b + d = c.
Nyní, když známe podmínky a způsob důkazu, je možné je použít k analýze konkrétních trojúhelníků a určení, zda jejich strany tvoří aritmetickou progresi nebo ne.