Kolik nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 lze získat ze správných zlomků?

Stanovení počtu nedemokratických zlomků s tímto jmenovatelem je zajímavým úkolem v matematice. V tomto případě se uvažuje o jmenovateli rovném 145.

Nedemokratický zlomek je zlomek, ve kterém čitatel a jmenovatel nemají společné dělitele kromě jedničky. Všechny ostatní zlomky s tímto jmenovatelem jsou kontraktilní a lze je zjednodušit vydělením čitatele a jmenovatele jejich společným dělitelem.

K nalezení počtu nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 je třeba zvážit všechny možné čitatele, kteří splňují podmínku 1 až 144, a zkontrolovat, zda jsou vzájemně jednoduché se 145. Dvě čísla se nazývají vzájemně prvočísla, pokud je jejich největší společný dělitel 1. Pokud je číslo vzájemně prvočíslo se 145, pak výsledný zlomek bude nedemokratický.

Pro každého čitatele od 1 do 144 je tedy nutné použít algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele a ověřit jeho rovnost jednotkou. Počet nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 se rovná počtu čitatelů, pro které je podmínka splněna.

Kolik je nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145?

Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme zvážit, která čísla mohou být čitatelem takových zlomků.

Jmenovatel 145 lze rozdělit na jednoduché faktory: 145 = 5 * 29.

Proto, aby byl zlomek nedemokratický, čitatel by neměl mít společné prvočísla s 5 nebo 29.

Čitatel nemůže mít faktory 5 a 29, protože jinak může být zlomek zkrácen.

Počet nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 se tedy rovná součinu počtu čísel, která nemají faktory 5 a 29.

Taková čísla budou mít podobu 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 144.

Existuje tedy 115 nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145.

Definice nedemokratického zlomku

K určení nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 je nutné použít ověřovací algoritmus pro kontraktilitu zlomku. Vydělíme jmenovatel 145 všemi možnými děliteli, přičemž dělitel by měl být menší než 145.

Ze správných zlomků se jmenovatelem 145 tedy nelze získat nedemokratický zlomek.

Správné zlomky a jejich vlastnosti

Chcete-li zjistit, kolik nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 lze získat ze správných zlomků, musíte zvážit všechny správné zlomky s takovým jmenovatelem a zkontrolovat, zda je lze zkrátit.

Nejprve najdeme všechny správné zlomky se jmenovatelem 145:

Zlomky s tímto jmenovatelem mají čitatele od 1 do 144. Zkontrolujeme, zda je lze zkrátit:

Zlomky s čitateli, které jsou prvočísla, nelze redukovat, protože jsou již nedemokratické.

Zlomky s čitateli, které jsou složená čísla, mohou být zkráceny, pokud je jejich jmenovatel rozdělen na všechny prvočísla čitatele.

Chcete - li tedy najít počet nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145, musíte zkontrolovat, které čitatele jsou prvočísla a která jsou složená. Pak je třeba najít jmenovatele, který je rozdělen na všechny jednoduché faktory každého složeného čitatele. Tímto způsobem lze získat počet nedemokratických zlomků, které lze vytvořit ze správných zlomků.

Jak najít všechny nedemokratické zlomky se jmenovatelem 145?

Chcete-li najít všechny nedemokratické zlomky se jmenovatelem 145, musíte použít metodu hledání největšího společného dělitele (NoD) a použít matematické vlastnosti zlomků.

Nedemokratický zlomek je takový zlomek, který má čitatele a jmenovatele vzájemně jednoduché, tj. jejich NoD je 1. Takže abychom našli všechny nedemokratické zlomky se jmenovatelem 145, musíme najít všechny čitatele, které jsou vzájemně jednoduché s hodnotou 145.

K tomu je třeba rozložit číslo 145 na prvočísla: 145 = 5 * 29. Čitatel nedemokratického zlomku by tedy měl být vzájemně jednoduchý s číslem 5 a 29. Chcete-li najít všechny takové čitatele, můžete použít jednoduchý vzorec:

Čitatel = k * (5 * 29)

kde k je jakékoli celé číslo kromě nuly. To je způsobeno skutečností, že když vynásobíme nulou, dostaneme zlomek s nulovým čitatelem, což není nedemokratický zlomek.

Tímto způsobem získáme všechny nedemokratické zlomky, které mají jmenovatele 145:

Přesně tolik nedemokratických zlomků lze získat ze správných zlomků se jmenovatelem 145.

Kritéria redukce zlomku

K určení kontraktility zlomku je nutné určit, zda existuje společný dělitel pro čitatele a jmenovatele. Pokud nemají společné dělitele, pak je zlomek nazýván nedemokratickým.

Chcete-li najít společný dělitel, musíte čitatel a jmenovatel rozdělit na jednoduché faktory. Poté je nutné porovnat faktory obou čísel a najít jejich společné faktory. Pokud existují společné faktory, pak je zlomek zkrácen, jinak zůstává nedemokratický.

Pro příklad se podívejme na zlomek 8/12. Rozdělíme čitatele a jmenovatele na jednoduché faktory: 8=2*2*2, 12=2*2*3. Společné faktory jsou 2 a 2, takže zlomek lze snížit na 4/6. Pokud po snížení celkových faktorů nezůstane, je zlomek považován za zcela snížený.

Pro uvedené téma je tedy možné určit počet nedemokratických zlomků se jmenovatelem 145 pomocí výše uvedených kritérií kontraktility a znalostí rozkladu čísla 145 na prvočísla.

Sestavení tabulky všech možných zlomků

K vyřešení tohoto problému je nutné vytvořit tabulku všech možných zlomků se jmenovatelem 145. Chcete-li najít počet zlomků, nejprve najdeme počet čísel menších 145, která jsou s ním vzájemně jednoduchá.

K tomu použijeme funkci Euler φ (145). Výsledkem bude počet vzájemně prvočísel menších než 145.

Dále, pro každé číslo z mezery [1, 145], vygenerujeme všechny možné zlomky pomocí čitatele rovného tomuto číslu a jmenovatele rovného 145.

Každý zlomek zkontrolujeme kontraktilitou pomocí Euklidova algoritmu k nalezení největšího společného čitatele a jmenovatele. Pokud je NOD roven 1, pak je zlomek nedemokratický.

Nalezené nedemokratické zlomky zaznamenáme do tabulky přidáním každé dvojice jmenovatel-jmenovatel do samostatného řádku.

V důsledku toho budou v tabulce uvedeny všechny možné nedemokratické zlomky se jmenovatelem 145.