Derivát funkce - je to jeden ze základních pojmů matematické analýzy, který umožňuje určit rychlost změny funkce. V tomto článku se podíváme na derivát funkce y = cos(2x) a vypočítáme její hodnotu.
Funkce y = cos(2x) je základní trigonometrická funkce, která závisí na proměnné x. v tomto případě faktor 2 před proměnnou x určuje, že se funkce bude měnit dvojnásobnou rychlostí ve srovnání s funkcí y = cos (x).
K určení odvozené funkce y = cos (2x) použijeme pravidlo diferenciace složité funkce. Nejprve vyferenzujeme vnitřní funkci 2x a poté výsledek vynásobíme derivátem externí funkce cos(u).
Odvozená funkce cos
K nalezení odvozené funkce cosx lze použít obecný vzorec diferenciace trigonometrických funkcí:
- Pokud f(x) = cosx, pak f'(x) = -sinx.
Derivát funkce cosx je tedy roven-sinx. To znamená, že když se hodnota argumentu x zvýší, hodnota funkce cosx klesne rychlostí sinx.
Derivát funkce cosx lze použít k analýze chování funkce v různých bodech, nalezení extrémních bodů a řešení dalších problémů matematické analýzy.
Hledání odvozené funkce y cos 2 x
K nalezení odvozené funkce y cos 2 x je nutné použít pravidlo diferenciace superpozice funkcí.
Máme funkci y = cos 2 x. zvažte proces hledání její derivace:
- Používáme pravidlo diferenciace funkce sinusu: d (sin u) / du = cos u.
- Nastavíme u = 2 x: d(sin 2 x) / dx = cos 2 x.
- Používáme pravidlo diferenciace superpozice funkcí: d(f(g(x))) / dx = f'(g(x)) * g'(x).
- Pravidlo aplikujeme na naši funkci: d(cos 2 x) / dx = (-sin 2 x) * (d(2 x) / dx).
Zjednodušíme výraz: d (cos 2 x) / dx = -2 sin 2 x.
Takže derivát funkce y cos 2 x je -2 sin 2 x.
Vzorec odvozené složité funkce
Ať máme funkci f(x), což je kompozice dvou funkcí u(v) a v(x): f(x) = u(v(x)). Chcete-li najít derivát této funkce f'(x),, je třeba použít vzorec derivace složité funkce.
Vzorec odvozené složité funkce má vzhled:
- Nechť y = f(u).
- Pak derivát dy/du tato funkce se rovná součinu odvozené funkce y = f(u) z u odvozené funkce u(x) z x. To je dy/dx = dy/du * du/dx.
Aplikováním tohoto vzorce na funkci y = cos(2x), dostáváme:
- Nechť f(u) = cos(u) a u(x) = 2x.
- Pak derivát funkce y = cos(2x) z u rovná se odvozená funkce f(u) = cos(u) z u, to je dy/du = -sin(u).
- Také odvozená funkce u(x) = 2x z x rovná se 2.
- Pomocí vzorce odvozené složité funkce získáme: dy/dx = -sin(u) * 2 = -2sin(2x).
Odvozená funkce y = cos(2x) rovná -2sin(2x).
Odvozená funkce y = cos(2x)
K nalezení odvozené funkce y = cos (2x) můžeme použít pravidlo diferenciace funkce superpozice.
Platí pravidlo diferenciace funkce superpozice, které tvrdí, že derivát sinusu nebo kosinu superpozice funkcí se rovná součinu derivace vnější funkce na derivát vnitřní funkce.
V tomto případě je vnitřní funkce 2x a externí funkce je cos(x).
Derivace vnitřní funkce 2x je 2, protože derivace je konstantní násobek 0 a je rovna 1.
Derivát vnější funkce cos(x) je-sin (x), protože derivát kosinu je mínus sinus.
Takže použitím pravidla diferenciace funkce superpozice získáme, že derivace funkce y = cos (2x) se rovná součinu derivace vnější funkce na derivaci vnitřní funkce:
dy/dx = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)
Derivát funkce y = cos(2x) je tedy-2sin (2x).
Příklad výpočtu derivátu y cos 2 x
Pro výpočet odvozené funkce y = cos (2x) používáme pravidlo diferenciace složené funkce. Pravidlo je, že derivace kompozice funkcí se rovná odvození vnější funkce derivátu vnitřní funkce.
Takže máme funkci y = cos(2x), kde vnější funkce je cos (u) a vnitřní funkce je 2x.
Najdeme derivát externí funkce cos (u). Podle vzorce derivace je odvozenina cos(u) rovna-sin (u).
Nyní najdeme derivát vnitřní funkce 2x. podle vzorce derivace je derivace 2x rovna 2x.
Nyní platí pravidlo diferenciace složené funkce: derivát y = cos(2x) se rovná součinu derivace vnější funkce (-sin(u)) na derivát vnitřní funkce (2).
Dostaneme, že derivát y = cos (2x) je (- sin(2x)) * 2, nebo zjednodušeně-2sin (2x).
Derivát funkce y = cos(2x) je tedy-2sin (2x).