Trojúhelníkový hranol je geometrické těleso složené z trojúhelníkové základny a tří bočních ploch, které jsou také trojúhelníky. Na rozdíl od obdélníkového hranolu však v trojúhelníkovém hranolu nemusí být výška známa. Jak ale najít objem trojúhelníkového hranolu bez výšky? V tomto článku rozebereme jednoduché vysvětlení tohoto procesu a poskytneme několik příkladů pro lepší pochopení.
Abychom našli objem trojúhelníkového hranolu bez známé výšky, musíme použít vzorec objemu pro rovný hranol, protože rovný hranol je zvláštním případem trojúhelníkového hranolu. Vzorec pro objem rovného hranolu je následující:
V = S * h,
kde V - objem, S - plocha základny, a h - výška.
Protože však u trojúhelníkového hranolu neznáme výšku, musíme k výpočtu plochy základny použít jiné známé parametry trojúhelníku. K tomu existuje několik metod, včetně použití geronova vzorce k nalezení plochy trojúhelníku podle délek jeho stran.
Co je trojúhelníkový hranol?
Na rozdíl od obdélníkového nebo čtvercového hranolu má trojúhelníkový hranol složitější tvar a boční plochy nejsou obdélníky. Může mít různé uspořádání a rozměry stran základny, díky čemuž je geometricky zajímavá.
Trojúhelníkové hranoly se nacházejí v různých oblastech, včetně matematiky, architektury a technické grafiky. Jsou široce používány v designu a konstrukci, protože mohou vytvářet jedinečné tvary a objemy.
Vzorec pro výpočet objemu trojúhelníkového hranolu
Objem trojúhelníkového hranolu lze vypočítat znalostí oblasti základny a výšky hranolu. Vzorec pro výpočet objemu trojúhelníkového hranolu je následující:
kde V je objem hranolu, s je plocha základny, h je výška hranolu.
Chcete-li použít tento vzorec, musíte nejprve vypočítat plochu základny trojúhelníkového hranolu. Oblast lze nalézt podle vzorce:
S = (a * b * sin(C)) / 2,
kde a A b jsou délky stran základny, C je úhel mezi stranami základny.
Jakmile je plocha základny nalezena, vynásobíme ji výškou hranolu a vydělíme 3, abychom získali objem trojúhelníkového hranolu.
Pokud je například plocha základny 10 čtverečních jednotek a výška hranolu je 5 jednotek, pak pomocí vzorce V = (S * H) / 3 získáme:
V = (10 * 5) / 3 = 16.67 kubických jednotek.
Celkový objem trojúhelníkového hranolu
Celkový objem trojúhelníkového hranolu lze vypočítat s vědomím jeho plochy základny a výšky. K tomu je třeba vynásobit plochu základny výškou.
Základna trojúhelníkového hranolu je obvykle trojúhelník, takže vzorec pro výpočet plochy základny bude záviset na typu trojúhelníku.
Když znáte plochu základny a výšku hranolu, můžete k výpočtu celkového objemu použít následující vzorec:
Celkový objem = plocha základny × výška
Pokud je například plocha základny 10 čtverečních centimetrů a výška je 5 centimetrů, pak bude celkový objem roven:
Celkový objem = 10 čtverečních centimetrů × 5 centimetrů = 50 kubických centimetrů
Nyní víte, jak vypočítat celkový objem trojúhelníkového hranolu pomocí plochy základny a výšky. Tento vzorec je zvláště užitečný, když se zabýváte trojúhelníkovými hranoly bez dostupné výšky.
Objem trojúhelníkového hranolu bez výšky
Objem trojúhelníkového hranolu popisuje objem prostoru obsazeného trojúhelníkovým hranolem. Výpočet objemu obvykle vyžaduje znalost výšky hranolu. V některých případech však můžeme vypočítat objem trojúhelníkového hranolu bez informací o jeho výšce.
K výpočtu objemu trojúhelníkového hranolu budeme potřebovat dvě měření: plochu základny a délku tvořící. Plocha základny je plocha trojúhelníku, zatímco tvarovaná je část spojující vrchol trojúhelníku s vrcholem hranolu, který neleží v rovině základny.
Vzorec pro výpočet objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky je následující:
Objem = (plocha základny * délka tvořící) / 2
Máme trojúhelníkový hranol se základnou, která má plochu 12 čtverečních centimetrů a délku tvořící 8 centimetrů. K výpočtu jeho objemu můžeme použít vzorec:
Objem = (12 * 8) / 2 = 48 / 2 = 24 kubických centimetrů
Objem trojúhelníkového hranolu bez výšky je tedy v tomto příkladu 24 kubických centimetrů.
Pomocí této metody můžete vypočítat objem trojúhelníkového hranolu bez znalosti jeho výšky v případech, kdy je známa plocha základny a délka tvořící.
Příklady výpočtu objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky
Chcete-li vypočítat objem trojúhelníkového hranolu bez výšky, musíte znát plochu základny a délku bočního žebra. Všechny výpočty jsou prováděny pomocí vzorce:
Objem = (plocha základny * délka bočního žebra) / 3
Příklad 1: Výpočet objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky
Nechť je plocha základny 10 cm2 a délka bočního žebra je 5 cm. použijeme vzorec:
Objem = (10 cm2 * 5 cm) / 3 = 50 cm3 / 3 = 16,67 cm3
Příklad 2: výpočet objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky
Nechť je plocha základny 15 cm2 a délka bočního žebra je 6 cm. vypočítáme objem podle vzorce:
Objem = (15 CM2 * 6 cm) / 3 = 90 cm3 / 3 = 30 cm3
Pro každý konkrétní případ tedy lze s vědomím plochy základny a délky bočního žebra vypočítat objem trojúhelníkového hranolu bez výšky.
Příklad výpočtu objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky
Pro začátek napíšeme vzorec pro výpočet objemu trojúhelníkového hranolu:
Kde V je objem hranolu, B je plocha základny hranolu a h je výška hranolu.
Pokud nemáme informace o výšce hranolu, ale známe délku základny a plochu základny, lze k určení objemu použít následující algoritmus:
| Krok | Akce |
|---|---|
| 1 | Určete délku základny trojúhelníkového hranolu (a). |
| 2 | Určete šířku základny trojúhelníkového hranolu (b). |
| 3 | Určete plochu základny hranolu (B) podle vzorce: B = (a * b) / 2. |
| 4 | Určete výšku hranolu (h) podle vzorce: h = (2 * V) / B. |
| 5 | Vložte nalezenou hodnotu výšky (h) do vzorce pro výpočet objemu hranolu: V = (B * h) / 2. |
Řekněme, že máme trojúhelníkový hranol s délkou základny a = 4 a šířkou základny b = 6. Víme, že objem hranolu V = 24.
Nejprve určíme plochu základny hranolu:
Poté vypočítáme výšku hranolu:
h = (2 * 24) / 12 = 4
A nakonec vložíme hodnoty plochy základny a výšky do vzorce pro výpočet objemu hranolu:
V = (12 * 4) / 2 = 24
Objem trojúhelníkového hranolu bez výšky se tedy rovná 24 jednotkám objemu.
Další příklad výpočtu objemu trojúhelníkového hranolu bez výšky
Představme si situaci, kdy máme trojúhelníkový hranol, který má známé délky stran základny: a = 6 cm, b = 8 cm a c = 10 cm. Ale bohužel nám není dána výška tohoto hranolu, ale je nezbytná pro výpočet objemu hranolu podle obvyklého vzorce.
Můžeme však použít vzorec plochy trojúhelníku k určení výšky trojúhelníkového hranolu.
Nejprve tedy spočítáme plochu trojúhelníku tvořeného stranami základny. K tomu použijeme Geronův vzorec:
kde s - poloperimetr trojúhelníku, a a, b a c - délky jeho stran.
Nastražíme známé hodnoty a získáme:
s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 viz.
Dále použijeme vzorec pro oblast trojúhelníku:
kde S - oblast trojúhelníku.
Nastražíme známé hodnoty a získáme:
S = sqrt(12(12-6)(12-8)(12-10)) = sqrt(12 * 6 * 4 * 2) = sqrt (576) = 24 cm2.
Nyní můžeme vypočítat výšku trojúhelníkového hranolu pomocí plochy základny a známých stran:
kde h - výška hranolu.
Nastražíme známé hodnoty a získáme:
h = 2 * 24 cm2 / 10 cm = 4,8 cm.
Takže jsme našli výšku hranolu. Nyní můžeme použít vzorec pro výpočet objemu trojúhelníkového hranolu:
kde V - objem hranolu.
Nastražíme známé hodnoty a získáme:
V = 24 cm2 * 4,8 cm / 3 = 38,4 cm3.
Objem trojúhelníkového hranolu bez známé výšky je tedy 38,4 cm3.