Sudá čísla jsou čísla, která se dělí na 2 beze zbytku. V desítkové soustavě číslování všechna sudá čísla končí na 0, 2, 4, 6 nebo 8. Zajímá nás, kolik 3místných čísel lze vytvořit pouze pomocí těchto sudých čísel.
K vyřešení tohoto problému lze použít princip násobení. Pro každou pozici máme 5 možností. Celkový počet 3místných čísel, která lze sestavit ze sudých číslic, se tedy rovná součinu počtu možností pro každou pozici:
5 * 5 * 5 = 125
Ze sudých číslic lze tedy vytvořit 125 různých 3místných čísel.
Počet 3místných čísel ze sudých číslic
Jak je známo, sudá čísla se dělí na dvě beze zbytku. Pro vytváření 3místných čísel pomocí výhradně sudých čísel je třeba vzít v úvahu několik důležitých pravidel:
- První číslo nemůže být nula: nula je liché číslo a nelze ji použít jako první číslici 3místného čísla.
- Poslední číslice musí být sudá: pouze sudá čísla mohou být beze zbytku dělitelná dvěma, takže poslední číslice 3místného čísla musí být také sudá.
- Odlišná čísla: všechny číslice ve 3místném čísle sestaveném ze sudých číslic se od sebe musí lišit. Nemůžete použít stejné číslo několikrát.
Vzhledem k těmto pravidlům tedy můžeme určit počet 3místných čísel, která lze sestavit ze sudých číslic. První číslice může být libovolné sudé číslo kromě nuly a na každou ze tří pozic v čísle lze umístit libovolnou sudou číslici kromě již použitých. Takže máme:
Počet možností pro první číslici: 4 (2, 4, 6, 8)
Počet možností pro druhou číslici: 3 (zbývají 3 sudé číslice)
Počet možností pro třetí číslici: 2 (zbývají 2 sudá čísla)
Celkový počet 3místných čísel, která lze sestavit ze sudých číslic, se rovná:
(4 x 3 x 2) = 24 možností
Tímto způsobem lze vytvořit 24 různých 3místných čísel pouze pomocí sudých čísel.
Čísla, která se skládají pouze ze sudých číslic
3místná čísla, která se skládají pouze ze sudých číslic, lze získat permutací číslic 2, 4, 6 a 8. Na první pozici může být pouze 2, 4, 6 nebo 8, na druhé a třetí pozici - některá z těchto sudých čísel. Celkem jsou pro každou pozici 4 možnosti výběru sudého čísla. Celkový počet 3místných čísel sestávajících pouze ze sudých číslic se tedy rovná 4 * 4 * 4 = 64.
Příklady těchto 3místných čísel jsou: 222, 246, 864 atd.
Počet 3místných čísel bez opakujících se čísel
Sestavování třímístných čísel ze sudých číslic je poměrně jednoduchý úkol, ale co když je třeba vzít v úvahu také podmínku, že čísla v čísle by se neměla opakovat?
Pro začátek zvažte všechny možné možnosti pro každou pozici v čísle:
- Pozice jednotek-2, 4, 6, 8
- Pozice desítek - všechna sudá čísla kromě jednotek, které již byly vybrány pro pozici
- Pozice stovek - všechna sudá čísla kromě již vybraných jednotek a desítek
Počet třímístných čísel bez duplicitních čísel lze tedy vypočítat jako součin počtu možností pro každou pozici:
4 (pozice jednotek) * 4 (pozice desítek) * 3 (pozice stovek) = 48
Takže dostáváme, že ze sudých číslic lze vytvořit 48 různých třímístných čísel bez opakujících se číslic.
Čísla, která obsahují opakující se čísla
Abychom pochopili, kolik čísel nakonec bude mít duplicitní čísla, zvažte následující případy:
Případ 1: Číslo obsahuje dvě stejné číslice a jednu druhou číslici.
121 - čísla 121, 112, 211
228 - čísla 228, 282, 822
V tomto případě lze pro každou pozici s číslem, které se může opakovat, vybrat kteroukoli ze čtyř sudých číslic. Získáme tedy 4 možná čísla pro první pozici a 1 možnou číslici pro druhou pozici. Výsledný vzorec pro stanovení počtu čísel v tomto případě bude 4 * 1 = 4.
Případ 2: Číslo obsahuje dvě různá čísla, ale obě se opakují.
122 - čísla 122, 212, 221
224 - čísla 224, 242, 422
V tomto případě lze pro každou pozici s číslem, které se může opakovat, vybrat kteroukoli ze čtyř sudých číslic. Získáme tedy 4 možná čísla pro první pozici a 3 možná čísla pro druhou pozici. Výsledný vzorec pro určení počtu čísel v tomto případě bude 4 * 3 = 12.
Existují 2 případy, ve kterých mohou čísla obsahovat opakující se čísla. Pro každý z těchto případů je vzorec pro určení počtu čísel odlišný, ale v obou případech bude počet čísel malý. Hledání čísel, která obsahují opakující se číslice, tedy není náročné, zejména v kontextu skládání 3místných čísel ze sudých číslic.
Počet čísel s opakujícími se čísly
Když mluvíme o třímístných číslech sestavených ze sudých číslic, vyvstává otázka, kolik z nich může mít duplicitní čísla. Pojďme to vyřešit.
Celkem máme 5 sudých číslic: 0, 2, 4, 6 a 8. Pro vytvoření třímístného čísla máme tři pozice, ve kterých mohou být různá čísla.
Zvažte několik případů:
| Případ | Počet čísel | Příklad |
|---|---|---|
| Všechna čísla jsou jiná | 5 × 4 × 3 = 60 | 246, 802, 468 atd. |
| Dvě čísla jsou stejná, jedna odlišná | 5 × 4 = 20 | 444, 822, 644 atd. |
| Všechna čísla jsou stejná | 5 | 222, 666, 888 |
Ze sudých číslic tedy můžeme vytvořit 60 čísel s různými číslicemi, 20 čísel se dvěma stejnými číslicemi a jedno číslo se třemi stejnými číslicemi.
Celkem je počet třímístných čísel s opakujícími se sudými číslicemi 60 + 20 + 1 = 81.
Možné kombinace čísel bez opakujících se čísel
Chcete-li pochopit, kolik 3místných čísel lze sestavit ze sudých číslic bez opakujících se čísel, musíte pochopit základy kombinatoriky.
V tomto případě máme 5 sudých číslic: 0, 2, 4, 6 a 8. Z této sady musíme vybrat 3 číslice. Počet možných kombinací lze nalézt pomocí vzorce kombinací:
S = n! / (k! * (n-k)!), kde n je celkový počet prvků, K je počet prvků, které je třeba vybrat.
Použijeme-li tento vzorec na náš úkol, dostaneme:
- S = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 5 * 4 * 3 / (3 * 2) = 10
Tímto způsobem můžeme vytvořit 10 různých 3místných čísel ze sudých číslic bez opakujících se čísel.
Shrneme všechny možnosti
Pro sestavení třímístných čísel ze sudých číslic existuje několik možností:
- Možnost výběru čísla na první místo-4 možnosti (2, 4, 6, 8).
- Možnost volby čísla na druhé místo - 5 možností (0, 2, 4, 6, 8).
- Možnost volby čísla na třetí místo - 5 možností (0, 2, 4, 6, 8).
Celkový počet třímístných čísel, která lze sestavit ze sudých číslic, se tedy rovná součinu těchto možností:
Existuje tedy 100 třímístných čísel sestavených pouze ze sudých číslic.