Výpočet plochy čtyřúhelníku je jedním z důležitých úkolů v geometrii. To vyžaduje znalost délek všech jeho stran nebo v některých případech úhlopříček. V tomto článku se podíváme na vzorec, který umožňuje vypočítat plochu čtyřúhelníku pomocí jeho úhlopříček.
Čtyřúhelník může být různých typů-obdélník, čtverec, rovnoběžník, lichoběžník atd. vzorec, který prozkoumáme, se používá pro jakýkoli typ čtyřúhelníku. Je zobecněním jiných vzorců.
Vzorec je založen na tom, že plochu čtyřúhelníku lze rozdělit na dva trojúhelníky a plochu každého trojúhelníku lze vypočítat podle délky jeho stran nebo úhlopříčky. K tomu se používá Geronův vzorec nebo vzorec plochy trojúhelníku na dvou stranách a rohu mezi nimi.
Čtyřúhelník
U mnoha čtyřúhelníků lze plochu vypočítat pomocí různých vzorců. Jedním ze způsobů výpočtu plochy je použití úhlopříček. U některých typů čtyřúhelníků, jako jsou kosočtverce a čtverce, jsou úhlopříčky kolmé a rozdělují tvar na čtyři stejné trojúhelníky. V tomto případě se plocha rovná polovině součinu délek úhlopříček.
U obecnějších případů, kde úhlopříčky nemusí být nutně kolmé, však může vzorec pro výpočet plochy při použití diagonálů vypadat poněkud komplikovaněji. Závisí na konkrétním druhu čtyřúhelníku a může vyžadovat další data, jako jsou úhly nebo délky jiných stran.
Použití úhlopříček k výpočtu plochy čtyřúhelníků je jedním z mnoha přístupů, které lze použít v geometrii. V závislosti na známých parametrech postavy může být někdy pohodlnější použít jiné vzorce nebo techniky, jako je geronův vzorec pro trojúhelníky nebo různé věty a vlastnosti specifické pouze pro určité třídy čtyřúhelníků.
Úhlopříčka
V obdélníku se úhlopříčky navzájem rovnají a rozdělují tvar na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky. Plochu obdélníku lze vypočítat pomocí vzorce plochy trojúhelníku.
Ve čtverci jsou úhlopříčky stejné. Protínají se v pravém úhlu a rozdělují postavu do čtyř stejných pravoúhlých trojúhelníků. Plochu čtverce lze vypočítat pomocí vzorce úhlopříčky.
V kosočtverci jsou úhlopříčky kolmé a rozdělují tvar na čtyři stejné trojúhelníky. Plochu kosočtverce lze vypočítat pomocí vzorce polovičního zobrazení úhlopříček.
V libovolném čtyřúhelníku mohou mít úhlopříčky různé délky a směry. Protínají se uvnitř postavy a rozdělují ji do čtyř trojúhelníků. Plochu libovolného čtyřúhelníku lze vypočítat pomocí vzorce pro výpočet plochy trojúhelníků tvořených úhlopříčkami.
| Typ čtyřúhelníku | Vlastnosti diagonálů |
|---|---|
| Obdélník | Úhlopříčky jsou stejné, kolmé |
| Čtverec | Úhlopříčky jsou stejné, kolmé |
| Kosočtverec | Úhlopříčky jsou kolmé |
| Libovolný čtyřúhelník | Úhlopříčky mohou být libovolné |
Vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníku pomocí úhlopříček
Chcete-li vypočítat plochu čtyřúhelníku pomocí úhlopříček, musíte znát délky obou úhlopříček a úhel mezi nimi.
Vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníku pomocí úhlopříček je následující:
| S = (d1 * d2 * sin(α)) / 2 |
- S-plocha čtyřúhelníku
- d1 a d2-délky úhlopříček čtyřúhelníku
- α-úhel mezi úhlopříčkami (měřeno v radiánech)
Je důležité poznamenat, že úhel α by měl být vzat mezi úhlopříčkami uvnitř čtyřúhelníku, nikoli zvenčí.
Pokud jsou známy délky stran čtyřúhelníku, ale neexistují žádné informace o úhlopříčkách, můžete použít vzorec pomocí stran a úhlopříčky:
| S = (a * b * sin(γ)) / 2 |
- S-plocha čtyřúhelníku
- a A b - délky stran čtyřúhelníku
- γ-úhel mezi stranami (měřeno v radiánech)
Vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníku pomocí úhlopříček je tedy jednou z metod pro výpočet plochy daného geometrického tvaru.
Vzorec pro konvexní čtyřúhelník
Pro výpočet plochy konvexního čtyřúhelníku pomocí úhlopříček lze použít následující vzorec.
Ať máme konvexní čtyřúhelník s úhlopříčkou AC a BD. Nechte úhlopříčky protínat v bodě O. Pak lze plochu čtyřúhelníku vypočítat podle vzorce:
S = 0.5 * d1 * d2 * sin(θ)
Vzorec umožňuje vypočítat plochu čtyřúhelníku pomocí známých hodnot úhlopříček a úhlů. Všimněte si, že hodnota úhlu by měla být v radiánech.
Vzorec pro neuklizený čtyřúhelník
Pro výpočet plochy nevyklého čtyřúhelníku je nutné znát jeho strany a úhlopříčky. Vzorec pro takový čtyřúhelník lze získat rozdělením tohoto mnohoúhelníku na dva trojúhelníky a výpočtem jejich plochy samostatně.
Představme si nepouklý čtyřúhelník ABCD, kde jsou strany AB, BC, CD a DA označeny jako a, b, c A d, zatímco úhlopříčky AC a BD jsou označeny jako e A f. vzorec pro výpočet plochy s čtyřúhelníku ABCD pak bude následující:
Kde SABC a SCDA - plochy trojúhelníků ABC a CDA, které lze vypočítat podle vzorce plochy trojúhelníku prostřednictvím délek stran a úhlopříček:
Pomocí dat vzorce je tedy možné vypočítat plochu nevyklého čtyřúhelníku s vědomím délky jeho stran a úhlopříček.