Trojúhelník je jedním z nejběžnějších a studovaných geometrických tvarů. Má mnoho vlastností a parametrů a úkoly na jeho nalezení plochy nebo stran jsou často běžné v matematických úlohách a reálných situacích. Jedním ze způsobů, jak najít plochu trojúhelníku, je použití daného sinusu a dvou stran.
Sinus je trigonometrická funkce závislá na úhlu trojúhelníku. Je definován jako poměr protilehlého katetu (strany trojúhelníku) k přeponě.
K nalezení plochy trojúhelníku s daným sinusem a dvěma stranami lze použít vzorec plochy trojúhelníku, který je vyjádřen přes semiperimetr a poloměr vepsaného kružnice. Protože máme nastaveny dvě strany, můžeme použít vzorec Gerona k nalezení semiperimetru.
Vzorec plochy trojúhelníku
Oblast trojúhelníku lze nalézt pomocí vzorce, který je založen na délkách dvou stran trojúhelníku a sinusu úhlu mezi těmito stranami.
Vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku:
Plocha = (a * b * sin (α)) / 2
a - délka jedné strany trojúhelníku;
b - délka druhé strany trojúhelníku;
α - úhel mezi těmito stranami (v radiánech).
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát hodnoty dvou stran trojúhelníku a hodnotu sinusu úhlu mezi těmito stranami. Vypočítáním těchto hodnot lze najít plochu trojúhelníku jejich vložením do vzorce.
Poznámka: Tento vzorec platí pouze pro nerovné trojúhelníky. Pro rovnoramenné trojúhelníky existují jiné vzorce.
Najděte hodnotu výšky trojúhelníku
Pro začátek vyjádřeme plochu trojúhelníku jeho výškou: S = (a * H)/2, Kde "a" je délka jedné ze základen a "h" je délka výšky.
Z tohoto vzorce lze vyjádřit výšku: h = (2 * s)/a, kde "S" je plocha trojúhelníku.
Chcete-li tedy najít hodnotu výšky trojúhelníku, musíte znát délku jedné z jeho základen a její plochu.
Jak najít hodnotu jednoho úhlu trojúhelníku
Když znáte délky stran trojúhelníku, můžete vypočítat hodnoty jeho úhlů pomocí kosinové věty. Kosinus věta stanoví, že čtverec jakékoli strany trojúhelníku se rovná součtu čtverců zbývajících dvou stran mínus zdvojnásobený součin těchto stran na kosinus sousedícího úhlu.
Pro výpočet hodnoty jednoho úhlu trojúhelníku je nutné znát délky dvou stran, kterými se tento úhel tvoří, a také délku třetí strany. Poté můžete použít vzorec:
Úhel = arccos ((a^2 + b^2-C^2) / (2 * a * b))
Kde a A A b jsou délky stran trojúhelníku, kterými se hledaný úhel tvoří, a c je délka třetí strany trojúhelníku.
Po vložení hodnot do vzorce a výpočtu bude výsledný výsledek hodnotou hledaného úhlu v radiánech. Pokud je požadována hodnota úhlu ve stupních, stačí převést radiány na stupně vynásobením hodnoty 180 a vydělením π (pi).
Pomocí kosinové věty a výše uvedeného vzorce lze tedy snadno vypočítat hodnotu jednoho úhlu trojúhelníku.
Použijte vzorec k nalezení sinusu úhlu
Abychom našli plochu trojúhelníku s daným sinusem a dvěma stranami, musíme nejprve najít úhel odpovídající tomuto sinusu. K tomu můžeme použít vzorec k nalezení sinusu úhlu v pravoúhlém trojúhelníku.
Vzorec pro nalezení sinusu úhlu:
sin (A) = opačná strana / přepona
Známe-li dvě strany trojúhelníku a sinus úhlu mezi nimi, můžeme najít třetí stranu a vypočítat plochu trojúhelníku pomocí Geronova vzorce nebo vzorce pro pravoúhlý trojúhelník, pokud je jedna ze stran přeponou.
Nalezený úhel nám pomáhá určit, které strany trojúhelníku jsou opačné a přepona, abychom použili správný vzorec k nalezení plochy trojúhelníku.
Použití vzorce k nalezení sinusu úhlu nám tedy pomáhá určit sinus daného úhlu, a proto nám umožňuje vyřešit problém nalezení plochy trojúhelníku.
Obvod trojúhelníku a jeho semiperimetr
P = a + b + c
Poloperimetr trojúhelníku je polovina hodnoty obvodu. Označuje se jako p a vypočítává se tak:
p = (a + b + c) / 2
Znalost obvodu a semiperimetru trojúhelníku může být užitečná při řešení různých úkolů. Například k nalezení plochy trojúhelníku pomocí geronova vzorce lze obvod a semiperimetr použít k výpočtu hodnoty p-poloviny součtu délek stran trojúhelníku.
Řešení příkladu
Pro řešení tohoto příkladu můžeme použít vzorec plochy trojúhelníku: s = (a * b * sin (C)) / 2.
- a A b - délky dvou stran trojúhelníku;
- C je úhel mezi těmito stranami daný sinusem.
S hodnotami stran a sinusu je můžeme nastrčit do vzorce a vypočítat plochu trojúhelníku.
| Strana a (cm) | Strana b (cm) | Sinus úhlu C | Plocha trojúhelníku (m2) |
|---|---|---|---|
| 5 | 7 | 0.6 | (5 * 7 * sin(0.6)) / 2 ≈ 11.78 |
Plocha trojúhelníku s daným sinusem 0.6 a délkami stran 5 a 7 je tedy přibližně 11.78 čtverečních centimetrů.