Čtverec je zvláštní druh obdélníku, který má všechny strany stejné. Chcete-li najít obvod čtverce, musíte znát délku jedné jeho strany. Ale co když je známa pouze úhlopříčka? Nebojte se, obvod čtverce můžete snadno najít tím, že znáte jeho úhlopříčku.
Čtverec má dvě stejné úhlopříčky, které se protínají v pravém úhlu. S vědomím, že strany čtverce jsou si rovny, můžeme použít Pythagorovu větu k nalezení délky strany čtverce, pokud je známa délka jeho úhlopříčky.
Pythagorova věta říká, že čtverec délky přepony (c) pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců délek jeho katetů (a A b): C^2 = a^2 + b^2. V případě čtverce je jeho úhlopříčka přeponou a strany jsou katety. Tímto způsobem lze zapsat následující rovnici: d^2 = a^2 + a^2, kde d je délka úhlopříčky, a je délka strany čtverce.
Jak najdu obvod čtverce?
Obvod čtverce se vypočítá jako součet délek všech jeho stran. Pokud je známa délka úhlopříčky čtverce, můžete ji použít k nalezení hodnoty strany čtverce a poté k nalezení obvodu. K tomu lze použít Pythagorovu větu.
Pythagorova věta říká, že v pravoúhlém trojúhelníku se čtverec délky přepony rovná součtu čtverců délek katetů. V případě čtverce je úhlopříčka přeponou. Lze tedy napsat rovnici:
diagonála2 = strana 2 + strana 2
Chcete-li najít stranu čtverce, musíte extrahovat druhou odmocninu ze součtu čtverců délky úhlopříčky:
A nakonec, abyste získali obvod čtverce, musíte vynásobit délku strany 4:
obvod = 4 * strana
Nyní, když znáte délku úhlopříčky, můžete pomocí těchto vzorců snadno najít obvod čtverce.
Čtverec a jeho vlastnosti
Čtverec má řadu základních vlastností:
1. Strany čtverce: Všechny strany čtverce mají stejnou délku a jsou označeny písmenem "a".
2. Úhlopříčka: Úhlopříčka čtverce je segment, který spojuje protilehlé vrcholy čtverce. Úhlopříčka je označena písmenem "d".
3. Obvod: Obvod čtverce je součtem délek všech jeho stran. Všechny strany čtverce jsou si rovny, takže obvod lze nalézt vynásobením délky jedné strany 4.
4. Plocha: Plocha čtverce je čtverec délky jeho strany. Chcete-li najít plochu čtverce, musíte vynásobit délku strany sama sebou.
Pokud je například strana čtverce 5 cm, její obvod bude 5 * 4 = 20 cm a plocha je 5 * 5 = 25 cm2.
Znát délku úhlopříčky čtverce je také možné najít jeho stranu pomocí Pythagorovy věty. Věta říká, že čtverec délky úhlopříčky se rovná součtu čtverců délek jeho stran.
Pokud je například úhlopříčka čtverce 8 cm, bude její strana rovna √(82 / 2) = 8 / √2 = 8√2 / 2 = 4√2 viz.
Poměr úhlopříčky k straně čtverce
Na druhou jsou si všechny strany rovny. Pokud označíte délku strany čtverce jako "a", jeho úhlopříčka bude"d". Najdeme poměr "d/a".
Pro začátek najdeme délku úhlopříčky pomocí Pythagorovy věty. Podle Pythagorovy věty lze v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou "d" a katety "a" nalézt délku přepony podle vzorce:
d = √(a^2 + a^2) = √(2a^2) = √2 * a
Nyní najdeme poměr "d/a":
Poměr úhlopříčky k straně čtverce je tedy √2 nebo blízko 1,414.
| Úhlopříčka, d | Strana, a | Poměr d/a |
|---|---|---|
| 1 | 0,707 | ≈ 1,414 |
| 2 | 1,414 | ≈ 1,414 |
| 3 | 2,121 | ≈ 1,414 |
Jak je vidět z tabulky, bez ohledu na délku strany čtverce bude poměr úhlopříčky ke straně vždy √2 nebo blízko 1,414.
Nalezení obvodu čtverce diagonálně
Obvod čtverce lze nalézt na jeho úhlopříčce, aniž byste znali stranu čtverce. K tomu musíte použít Pythagorovu větu a vzorec pro nalezení délky úhlopříčky čtverce.
Úhlopříčka čtverce jej dělí na dva obdélníkové trojúhelníky. Podle Pythagorovy věty se součet čtverců katettů rovná druhé přeponě. Pokud označíte délku strany čtverce jako A a délku úhlopříčky jako d, můžete zapsat poměr:
Chcete-li najít obvod čtverce, musíte vynásobit délku jeho strany 4. Obvod čtverce lze proto nalézt podle vzorce:
Pokud tedy znáte délku úhlopříčky čtverce, můžete najít jeho obvod použitím vzorce P = 4√[d 2 /2].