Lichoběžník je geometrický obrazec, který má dvě rovnoběžné strany a dvě neparallové strany, z nichž jedna je kratší než druhá. V rovnoramenném lichoběžníku jsou základny stejné a boky jsou si rovny. Jedním z důležitých parametrů lichoběžníku je jeho plocha, která ukazuje, kolik roviny zabírá.
Výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku se obvykle provádí pomocí výšky-čáry, která spojuje základny a je na ně kolmá. Někdy však může být nepříjemné nebo nemožné použít výšku k výpočtu plochy lichoběžníku. V takových případech můžete použít vzorec, který je založen na délkách bází a úhlu mezi nimi.
Vzorec pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky je následující: S = ((a + b) / 2) * h, kde S - trapézové náměstí, a a b - délky bází, h - vzdálenost mezi základnami. Z tohoto vzorce je zřejmé, že pro výpočet plochy lichoběžníku nemusíte znát výšku - stačí znát délku bází a vzdálenost mezi nimi.
Nyní, když znáte vzorec pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky, můžete snadno a rychle vypočítat plochu daného geometrického tvaru. To může být užitečné v různých situacích, například při řešení geometrických problémů nebo ve stavebnictví. Je důležité si uvědomit, že vzorec funguje pouze pro rovnoramenné lichoběžníky.
Definice rovnoramenného lichoběžníku
Báze rovnoramenného lichoběžníku leží na jedné přímce zvané osa symetrie. Lichoběžníkové boky tvoří ve stejných úhlech s osou symetrie.
Jeden ze základů rovnoramenného lichoběžníku může být větší (horní základna) nebo menší (spodní základna), v závislosti na umístění bočních stran a tvaru lichoběžníku. Osy symetrie jsou uspořádány tak, že jejich průsečík je uprostřed spodní základny.
Rovnoramenné lichoběžníky mají řadu zajímavých vlastností, včetně rovnosti bází a úhlů mezi boky a rovnosti sousedících úhlů mezi základnami a osou symetrie. Tyto vlastnosti usnadňují výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky.
Vzorec plochy rovnoramenného lichoběžníku
Nechte v rovnoramenném lichoběžníku základny stejné s délkou a a b a boční strana se rovná c. Jeden z úhlů na vrcholu mezi základnami je roven α.
Najdeme výšku lichoběžníku tím, že jej provedeme z vrcholu, který prochází základnou s délkou a. Označíme výšku jako h.
Protože lichoběžník je rovnoramenný, úhly s protilehlými stranami jsou stejné. Takže druhý úhel na vrcholu má stejnou velikost a lze jej označit jako α.
Z trojúhelníku tvořeného výškou h, boční strana c a jeho polovina základu a/2, podle Pythagorovy věty lze najít délku h:
h 2 = c 2 - (a/2) 2
h 2 = 4c 2 - a 2
Nyní můžeme vyjádřit lichoběžníkovou plochu pomocí vzorce: S = ((a + b) * h) / 2.
Nastražíme nalezenou hodnotu h 2 a dostaneme:
S = ((a + b) * (√(4c 2 - a 2 ))) / 2
Získali jsme tedy vzorec pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky.
Použití stran k výpočtu plochy
Plochu rovnoramenného lichoběžníku lze vypočítat podle délky bází a bočních stran. K tomu lze použít následující vzorec:
- Určete délky lichoběžníkových bází-to jsou úseky, které spojují vrcholy lichoběžníku na opačných stranách.
- Najděte délky bočních stran lichoběžníku-to jsou úseky, které spojují vrcholy lichoběžníku na jedné straně.
- Přeložte délky bází a výsledný součet vynásobte polovinou výšky lichoběžníku. Polovinu výšky lze nalézt rozdělením výšky na 2.
- Výsledná hodnota bude plocha rovnoramenného lichoběžníku.
Použití stran k výpočtu plochy rovnoramenného lichoběžníku je poměrně jednoduchý způsob, který nevyžaduje znalost výšky. Je však třeba si uvědomit, že pro aplikaci tohoto vzorce je nutné znát hodnoty bází a bočních stran přesně.
Příklad výpočtu plochy rovnoramenného lichoběžníku
Pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku lze použít vzorec, který nevyžaduje přítomnost výšky.
Nechte základny lichoběžníku dlouhé a A b a boky rovny c. pak lze vypočítat plochu rovnoramenného lichoběžníku
podle vzorce: S = (A + b) * c / 2.
Podívejme se na příklad výpočtu plochy rovnoramenného lichoběžníku. Nechte základny a = 5 cm, b = 10 cm a boční strana c = 8 cm.
Vložíme hodnoty do vzorce: S = (5 + 10) * 8 / 2 = 15 * 8 / 2 = 120 / 2 = 60 cm2.
Plocha rovnoramenného lichoběžníku se stranami a = 5 cm, b = 10 cm a c = 8 cm je tedy 60 cm2.
Znalost vzorce pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky může snadno vyřešit problémy související
s rovnoramennými lichoběžníky.
Důkaz složení plochy rovnoramenného lichoběžníku
Existuje však způsob, jak vypočítat plochu rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky. Podívejme se na něj podrobněji.
Ať máme rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde AB a CD základny a BC a AD boky.
Označíme přes e průsečík úhlopříček AC a BD. Vzhledem k tomu, že ABCD je rovnoramenný lichoběžník, pak EC a ED jsou bissektrické rohy BCD a ADE. Bod E je tedy průsečíkem bissectris, což znamená AE = CE a BE = DE.
Použijeme vlastnost rovnoramenného lichoběžníku, která říká, že základny rovnoramenného lichoběžníku jsou stejné a menší než součet bočních stran.
Získáme následující poměr: AB = CD < BC + AD.
Všimněte si, že dva trojúhelníky ABE a CDE jsou stejné, protože mají stejné strany AE = CE, BE = DE a společný úhel na vrcholu e.
Plochy těchto trojúhelníků jsou tedy stejné: S(ABE) = S (CDE).
Plocha rovnoramenného lichoběžníku ABCD lze vyjádřit jako rozdíl ploch trojúhelníků ABC a CDA: s(ABCD) = s(ABC) - s (CDA).
Ale Plocha trojúhelníků ABC a CDA se rovná polovině součinu bází na výšku: s (ABC) = (AB + BC) * h/2 a s (CDA) = (CD + AD) * h/2.
Tyto hodnoty vložíme do vzorce plochy rovnoramenného lichoběžníku: s (ABCD) = (AB + BC) * h/2 - (CD + AD) * h/2.
Zjednodušíme výraz a získáme konečný vzorec pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky: s(ABCD) = ((AB + BC) - (CD + AD)) * h/2 = (AB - CD) * h/2 = ((a + b) - (a + b))) * H/2 = (a + b)/2 * h.
Tímto způsobem jsme získali vzorec S = ((A+b)/2) * h pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky.
Případ, kdy jsou známy základy a úhel
Pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku, kdy jsou známy pouze základny a úhel mezi nimi, se používá následující vzorec:
Plocha = rozdíl bází × polovina součtu bází × sinus úhlu mezi bázemi
Z tohoto vzorce je zřejmé, že pro určení plochy rovnoramenného lichoběžníku je nutné znát délku obou bází a hodnotu úhlu mezi nimi.
Proces výpočtu plochy rovnoramenného lichoběžníku pomocí tohoto vzorce zahrnuje následující kroky:
- Změřte délky lichoběžníkových bází.
- Změřte velikost úhlu mezi základnami.
- Použijte vzorec pro výpočet plochy.
Pokud tedy znáte velikost úhlu mezi základnami a délkou obou bází, můžete snadno vypočítat plochu rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky.
Všimněte si, že tento vzorec platí pouze pro rovnoramenné lichoběžníky, u kterých se úhel mezi základnami měří ve stupních.
Případ, kdy jsou známé strany a úhel
Pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky je možné použít vzorec založený na známých stranách a úhlu. V tomto případě jsou známy délky bočních stran lichoběžníku (a A b) a úhel α mezi základnou a boční stranou.
Kroky pro výpočet plochy rovnoramenného lichoběžníku:
- Vypočítejte výšku h pomocí kosinové věty:
- h = √(a² - b²/4 - 2 * a * b/4 * cos(α))
- Vypočítejte plochu s:
- S = (a + b) * h/2
Pomocí těchto vzorců lze vypočítat plochu rovnoramenného lichoběžníku, pokud jsou známy délky bočních stran a úhel mezi základnou a boční stranou. To může být užitečné při řešení problémů s geometrií nebo při výpočtech souvisejících s danou postavou.
Případ, kdy jsou známy úhlopříčky a úhel
Plochu rovnoramenného lichoběžníku lze vypočítat i tehdy, jsou-li známy úhlopříčky a úhel mezi nimi.
K tomu lze použít následující vzorec:
- S - trapézové náměstí
- d1 - velká úhlopříčka
- d2 - malá úhlopříčka
- roh - úhel mezi úhlopříčkami
- sin (úhel) - sinus úhlu, který lze nalézt pomocí tabulky hodnot nebo kalkulačky.
Použití tohoto vzorce umožňuje vypočítat plochu rovnoramenného lichoběžníku, i když není známa jeho výška.
Pokud je například velká úhlopříčka 10 cm, Malá úhlopříčka je 6 cm a úhel mezi nimi je 60 stupňů, pak plocha lichoběžníku bude:
S = (10 + 6)/2 * 10/2 * 6/2 * sin (60) = 8.66 cm2
Díky znalosti úhlopříček a úhlu je tedy možné získat plochu rovnoramenného lichoběžníku bez použití výšky.